Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.FUNKCJEOWAHANIUSKOŃCZONYM
11
iniechfbędziefunkcjąliniowąnaprzedziałach[xn+1,(xn+xn+1)/2]oraz
[(xn+xn+1)/2,xn].Udowodnić,żefspełniawarunekH¨
olderazkażdąstałą
0<α<1iniemawahaniaskończonegona[0,x2].
1.2.14.Załóżmy,żef:[a,∞)→Rjestfunkcjąowahaniuskończonymnakaż-
dymprzedziale[a,b],b>a,ipołóżmy
V(f;a,∞)=lim
b→∞
V(f;a,b).
Wykazać,żejeśliV(f;a,∞)<∞,toistniejeskończonagranicalim
x→∞
f(x).Czy
prawdziwajestimplikacjaprzeciwna?
1.2.15.Dlafunkcjifokreślonejna[a,b]idlapodziałuP={xo,x1,...,xn}
przedziału[a,b]utwórzmysumę
n
V(f,P)=
Σ
|f(xi)−f(xi-1)|.
i=1
Udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąna[a,b],to
µ(P)→o
lim
V(f,P)=V(f;a,b),
toznaczy,dladowolnegos>0istniejetakaδ>0,żejeśliµ(P)<δ,to
V(f;a,b)−V(f,P)<s.
1.2.16.Dlafunkcjifokreślonejna[a,b]idlapodziałuP={xo,x1,...,xn}
przedziału[a,b]utwórzmysumę
W(f,P)=
i=1
Σ
n
(Mi−mi),
gdzie
Mi=
x∈[xi−1,xi]
sup
f(x),
mi=
x∈[xi−1,xi]
inf
f(x).
Wykorzystującpoprzedniezadanie,udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąna
[a,b],to
µ(P)→o
lim
W(f,P)=V(f;a,b).
1.2.17.Załóżmy,żefjestfunkcjąowahaniuskończonymna[a,b]oraz,żepiqsą
odpowiadającymijejfunkcjamidodatniegoiujemnegowahaniazdefiniowanymi
wtwierdzeniu1.Wykazać,żejeślip1iq1sąfunkcjamirosnącymina[a,b]takimi,
żef=p1−q1,to
p(x)−p(y)≤p1(x)−p1(y)
i
q(x)−q(y)≤q1(x)−q1(y)
dlaa≤x<y≤b.Wywnioskowaćstąd,żeV(p;a,b)≤V(p1;a,b)iV(q;a,b)≤
V(q1;a,b).
