Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
ZADANIA•1.CAŁKARIEMANNA–STIELTJESA
1.4.25.Niechf∈C([a,b]),a>0,iniech
∫
a
b
f(x)dx=0.
Wykazać,żeistniejeB∈(a,b),dlaktórej
∫
a
θ
f(x)dx=Bf(B).
1.4.26.Wykazać,żejeślif,g∈C([a,b]),toistniejetakaB∈(a,b),że
g(B)∫
a
b
f(x)dx=f(B)∫
a
b
g(x)dx.
1.4.27.Wykazać,żejeślif,g∈C([a,b]),toistniejetakaB∈(a,b),że
g(B)∫
a
θ
f(x)dx=f(B)∫
θ
b
g(x)dx.
1.4.28.Wykazać,żejeślifunkcjefigsądodatnieiciągłena[a,b],toistnieje
takaB∈(a,b),że
∫
af(x)dx
θ
f(θ)
−
∫
θg(x)dx
b
g(θ)
=1.
1.4.29.Niechfbędziefunkcjądodatniąiciągłąna[0,1].Udowodnić,żedla
każdegon∈NistniejetakaB(n),że
n∫
1
o
1
f(x)dx=∫
o
θ(n)
f(x)dx+∫
1-θ(n)
1
f(x)dx.
Znaleźćtakżelim
n→∞
(nB(n)).
1.4.30.Wykazać,żejeślif∈C1([0,1]),toistniejetakaB∈(0,1),że
∫
o
1
f(x)dx=f(0)+
1
2
f!(B).
1.4.31.Wykazać,żejeślif∈C2([0,1]),toistniejetakaB∈(0,1),że
∫
o
1
f(x)dx=f(0)+
1
2
f!(0)+
1
6
f!!(B).
1.4.32.Załóżmy,żef∈C1([0,1])iżef!(0)/=0.Dlax∈(0,1]niechB(x)oznacza
liczbę,dlaktórejprawdziwajestrówność
∫
o
x
f(t)dt=f(B(x))x.
Znaleźćgranicę
x→o+
lim
θ(x)
x
.
