Содержание книги
перейти к управлению читателемперейти к навигацииперейти к деталям бронированияперейти к остановкам
30
O
y
b
✻
Rys.2.9
|z|
❪α
✯
z=a+jb
a
✲
x
2.Liczbyzespolone
z=a+bj(/=0)możnawyznaczyćzrówności(2.20).Argumentem(głównym)
liczbyurojonejz=bj(b∈R−{0})jestπ
2lub−π
2,zależnieodtego,czybjest
liczbądodatnią,czyujemną.Argumentliczbyróżnejodliczbyurojonejmożna
takżewyznaczyćzewzoru
(
I
arctgb
aj
jeślia>0j
Arg(a+bj)=
4
arctgb
a+πjjeślia<0ib>0j
I
l
arctgb
a−πjjeślia<0ib<0
(2.21)
(rys.2.10).Argumentliczbyz=0jestnieokreślony(alemożemytakżeprzyjąć,
żeargumentemzerajestdowolnaliczbarzeczywista).
✻
Arg(z)=arctg
b
a
Arg(z)=arctg
a+π
b
✲
Arg(z)=arctg
a1π
b
Arg(z)=arctg
b
a
Rys.2.10
Przykład204010Dlaliczb11+joraz1d31j,wobec(2.21),mamy
Arg(11+j)=arctg(1
1
1)+π=1
π
4+π=3
4π
oraz
Arg(1d31j)=arctg(1
√3)1π=π
61π=15
6π.
Z(2.19)i(2.20)wynika,żeliczbęzespolonązmożnaprzedstawićwpostaci
Postaćtrygonometryczna
liczbyzespolonej
z=|z|(cosO+jsinO)j
(2.22)
zwanejpostaciątrygonometryczną(lubbiegunową)liczbyz.WtymzapisieOjest
argumentemliczbyz,czyliO=arg(z).Postaćtajestwyznaczonaprzezmoduł
iargumentliczbyzespolonej(rys.2.11).
Przykład204020Dlaliczbzpoprzedniegoprzykładumamy
11+j
=
'11+j'(cosarg(11+j)+jsinarg(11+j))
=
d2(cos3
4π+jsin3
4π)
oraz
1d31j=2(cos(1
5
6π)+jsin(1
6π))=2(cos
5
5
6π1jsin5
6π).
Wartotakżezauważyć,że
✻
cosα+jsinα
1
z=|z|(cosα+jsinα)
✲
|z|
3j=3(cosπ
2=2(cos0+jsin0)j
2+jsinπ
2)j
15j=5(cos(1π
14=4(cosπ+jsinπ)j
2)+jsin(1π
2))j
4+3j=5(cos(0j64)+jsin(0j64))
(boarctg(
3
4)≈0j64)j
14+3j=5(cos(2j5)+jsin(2j5))j
1413j=5(cos(12j5)+jsin(12j5))j
413j=5(cos(10j64)+jsin(10j64)).
Rys.2.11
