Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
3.Liczbyzespolone
Własnościdziałańwzbiorzeliczbzespolonych
Niechz=(x,g),z1=(x1,g1),z2=(x2,g2)∈C.Wtedysłusznesązależności:
1.z1+z2=z2+z1(przemiennośćdodawania),
2.z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3(łącznośćdodawania),
3.z+(0,0)=z(elementzerowydodawania),
4.z+(−z)=(0,0)(liczbaprzeciwnadoliczbyzwdodawaniu),
5.z1·z2=z2·z1(przemiennośćmnożenia),
6.z1·(z2·z3)=(z1·z2)·z3(łącznośćmnożenia),
7.z·(1,0)=z(jedynkamnożenia),z/=(0,0)
8.z·1/z=(1,0)(elementodwrotnymnożenia),
9.z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(rozdzielnośćmnożeniawzględemdodawania).
Przykład3.1.1.Niechz1=(−1,2),z2=(0,3).Obliczz1−z2,3z1+2z2,
z1·z2,−5z1/z2.
Zgodniezdefinicjądziałańmamy:
z1−z2=(−1,2)−(0,3)=(−1,−1),
3z1+2z2=3(−1,2)+2(0,3)=(−3,6)+(0,6)
=(−3+0,6+6)=(−3,12),
z1·z2=(−1,2)·(0,3)=(−1·0−2·3,−1·3+2·0)
=(−6,−3),
−
5z1
z2
=−5(−1,2)·
(0,3)
1
=(5,−10)·(
02+32
0
,
02+32)
−3
=(5,−10)·(0,−
1
3)=(−
10
3
,−
5
3).
3.2.Postaćalgebraiczna(kartezjańska)liczbyzespolonej
Definicja3.2.1.Liczbęzespolonąz=(0,1)nazywamyjednostkąurojoną
ioznaczamysymbolemź,mamywięc
ź=(0,1).
(3.2.1)
Ponieważź2=ź·ź=(0,1)·(0,1)=(−1,0),zatem
ź2=−1.
(3.2.2)
Twierdzenie3.2.1.(Postaćalgebraicznaliczbyzespolonej).Każdąliczbę
zespolonąz=(x,g)możnaprzedstawićwpostaciz=x+źg,gdziex,gsąliczbami
rzeczywistymi,natomiastźjestjednostkąurojoną.Liczbęz=0+ź0zapisujemy
wskróciez=0.
Uwaga3.2.1.Tensposóbreprezentacjiliczbyzespolonejnazywamypostacią
algebraicznąlubkartezjańskąliczby.Jeżelixlubgniesąrzeczywiste,to
postaćx+źgniejestpostaciąalgebraiczną,np.niejestwtakiejpostaciliczba
3−ź(−2ź),gdyż−2źniejestliczbąrzeczywistą.
