Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
3.Liczbyzespolone
Ostatniprzykładmożnaobliczyćinaczej;najpierwprzedstawiamylicznikimia-
nownikwpostacialgebraicznej,tzn.
(1−ź)4=4(cosπ+źsinπ)=−4,
anastępniewykonujemydzielenie.
(1+ź√3)4=16(−1
2
−ź
√3
2),
3.4.Postaćwykładniczaliczbyzespolonej
Definicja3.4.1.Niech0∈R.Wtedyliczbęzespolonącos0+źsin0oznaczamy
krótkoeil,czyli
eil=cos0+źsin0.
(3.4.1)
Definicja3.4.2.Każdąliczbęz∈Cmożnazapisaćwpostaciwykładniczej,
czyli
z=Teil,
(3.4.2)
gdzieT=|z|,0=argz.
Liczbyzespolonez1=T1eil1iz2=T2eil2sąrównewtedyitylkowtedy,gdy
istniejek∈Ztakie,że
T1=T2oraz01=02+2kπ.
Własnościliczbzespolonychwpostaciwykładniczej.Niech
z=Teil,
z1=T1e
il1,
z2=T2e
il2,
k∈Z.
Wtedyzachodzązwiązki:
1.¯
2.z1·z2=T1·T2ei(l1+l2).
3.
z=Te1il.
z1
z2
=
T1
T2
ei(l11l2),
z2/=0.
4.zk=Tkeikl.
5.eil+i2kπ=eil.
6.|
|eil|
|=1.
(3.4.3)
Przykład3.4.1.Zapiszwpostaciwykładniczejliczbyz1=−ź,z2=−2.
Zauważmy,że|z1|=1,|z2|=2,orazargz1=3π/2,argz2=π,zatem
z1=−ź=1e
3iπ/2=e3iπ/2,
z2=−2=2e
iπ.
Przykład3.4.2.Przedstawwpostacialgebraicznejliczbyz1=−e1iπ/3,z2=
4e5iπ/6.
Najpierwzapiszemyz1,z2wpostacitrygonometrycznej:
z1=−(cos(−
π
3)+źsin(−
π
3)),z2=4(cos(
5π
6)+źsin(5
π
6)),
