Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.5.Pierwiastkowanieliczbzespolonych
33
następnie,wyznaczającwartościsinusaicosinusakątówwystępującychwpostaci
trygonometrycznej,mamy:
z1=−(1
2
−ź
√3
2)=−1
2
+ź
√3
2
,
z2=−
√3
2
+ź
1
2
.
3.5.Pierwiastkowanieliczbzespolonych
Definicja3.5.1.Pierwiastkiemstopnian∈Nzliczbyzespolonejz∈C
nazywamykażdąliczbęw∈Cspełniającąrówność
wn=z.
Zbiórpierwiastkówstopnianzliczbyz∈Coznaczamysymbolemn
√z.
(3.5.1)
Uwaga3.5.1.Symbolpierwiastkastopnianjesttakisamwdziedzinierzeczy-
wistej,jakiwdziedziniezespolonej,jednakcharakteryzujezupełnieinnyzbiór.
Przykładowo,wdziedzinierzeczywistej√1=1,natomiastwdziedziniezespolonej
√1={−1,1},pierwiastek√−1wdziedzinierzeczywistejnieistnieje,natomiast
wdziedziniezespolonej√−1={−ź,ź}.
Uwaga3.5.2.Wykorzystaniedefinicjidowyznaczanian-tychpierwiastków
zliczbyzespolonejjestszczególnieużytecznedlan=2;przykładponiżej.
Przykład3.5.1.Wyznaczpierwiastki2-gostopniazliczbyz=3−2ź.
Niechw=x+źgbędzieliczbąspełniającązależnośćw2=3−2ź.Zatemmamy
(x+źg)2=3−2ź
⇐⇒x2−g2+2źxg=3−2ź.
Porównującczęścirzeczywisteiurojonepoobustronachrówności,mamy
{
x2−g2=3,
2xg=−2.
Gdybyx=0,wtedyzarównowpierwszej,jakidrugiejrównościotrzymalibyśmy
równośćsprzeczną,zatemx/=0.Wyznaczającgzdrugiegorównaniaiwstawiając
dopierwszego,otrzymamyrównanie
x2−(−
x)
1
2
=3,
którepopodniesieniudrugiegowyrażeniadokwadratuiprzemnożeniucałejrów-
nościprzezx2przyjmujepostać
x4−3x2−1=0.
