Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Wedługpowyższychdefinicjimożliwajestparadoksalnasytuacja,wktórej
rozkładjednomodalnymawielemodalnych,dlaktórychfunkcjagęstościmatę
samąwartość.Rozkładjednostajnycechujewtymujęciunieskończeniewiele
modalnych.Dlauniknięciatychniedoskonałościproponujemynastępującądefi-
nicjęjednomodalności(por.[Sokołowski1993]):
Rozkładjednowymiarowejzmiennejlosowejjestjednomodalnywtedyitylko
wtedy,gdyistniejetakawartośćM
o,dlaktórejfunkcjagęstościtejzmiennej(lub
funkcjarozkładuprawdopodobieństwa)jestrosnącawprzedziale(-∞,M
o),zaś
malejącawprzedziale(M
o,+∞).Takadefinicjaokreślatzw.silnąjednomodal-
ność9.
H.Ekblom[1972]rozpoczynaswojąpracęodzdania:„Jeżelimamyzadaną
funkcjęgęstościf(x),tomodalnajestzdefiniowanajakopunkta,dlaktórego
f(a)≥f(x),przyczymrównośćzachodzitylkodlax=a”.
PierwszezdaniepracyW.Eddy’ego[1980]brzmi:„Modalnagęstościpraw-
dopodobieństwaf(t)totakawartośćt,któramaksymalizujetęgęstość”10.Tego
typudefinicjepowtarzanesąprzezwieluautorówioddająintuicyjnywymóg,aby
modalnabyławyznaczanaprzeznajwiększąkoncentracjęprawdopodobieństwa.
ZgodniezideąPearsonamodalnązmiennejlosowejskokowejjestwartość,
którejprzyporządkowanejestnajwiększeprawdopodobieństwo.Odtakiejprostej
definicjirozpoczynająswójzmatematyzowanyartykułS.DuttaiA.Goswami
[2010].Podająwnimformalnądefinicjęjednomodalnościdlajednowymiarowej
skokowejzmiennejlosowejprzyjmującejwartościzezbioruS,określonejfunkcją
rozkładuprawdopodobieństwap:S→[0,1].Stwierdzają,żerozkładokreślony
funkcjąpnazbiorzeSnazywamyjednomodalnym,jeżeliistniejetakielement
Mo∈S,żep(Mo)>p(x)dlawszystkichx≠Mo,x∈S.JeżelitakielementMo
istnieje,tonazywanyjestmodalnąrozkładu.Tensposóbrozumowaniajestnieco
zawiły,gdyżautorzyzaczynająoddefinicjijednomodalności,adopierozniej
wyprowadządefinicjęmodalnej.Dotykamytutrudnegoproblemuwybrnięcia
zsytuacji,gdyistniejewięcejniżjednatakawartośćMo,przyczymniechodzitu
omieszankirozkładów,tworzącenajczęściejmodelewielomodalne.Rozważmy
rozkładPoissona.Dlaparametruλ<1modalnawtymrozkładziejestrównazeru
(najbardziejprawdopodobnejest,żezdarzenie,któregoczęstośćopisanajesttym
rozkładem,nienastąpi).Dlaλ>1modalnajestwiększaodzera.Natomiastdlaλ=
1mamyp(0)=p(1)=0,367879.Czymożnawtymprzypadkutwierdzić,żerozkład
Poissonajestrozkłademdwumodalnym?Trudnotuojednoznacznąodpowiedź.
9NiecoinnerozumieniesilnejjednomodalnościprezentująJ.A.Ibragimow[1956]oraz
S.W.DharmadhikariiK.Joag-dev[1988].
10Identyczniebrzmi(nawetzużyciemtychsamychsymboli)pierwszezdaniestreszczenia
pracyJ.P.Romano[1988a].
