Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
Rysunek1040GranicaCauchy’ego
funkcjifwpunkciexo
7
g+ε
g−ε
f(x)
y
g
0
x0−δ
x
x0
x0+δ
x
będązazwyczajokreślonewsąsiedztwiepunktu,wktórymbędziemyobliczaćgra-
nicę(zwyjątkiemgranicjednostronnych,gdziepunktxobędziepunktemwtzw.
sąsiedztwiejednostronnym).Wówczasdla„dostateczniemałych”wartościδ>0
sąsiedztwo(xo−δjxo)∪(xojxo+δ)jestzawartewdziedziniefunkcji.Kwanty-
fikator∀x∈G,x/lx
owwarunku(1.1)wystarczywięczastąpićprzez∀x/lx
o.Wtedy
„klasycznyzapis”granicyfunkcjiwpunkciewsensieCauchy’egojestnastępujący
∀ε>o∃δ>o∀x/lx
o
(|x−xo|<δ⇒|f(x)−g|<ε).
Przykład1.3.KorzystajączdefinicjiCauchy’egogranicyfunkcjiwpunkcie,pokażemy,
żelimx→2f(x)=12,gdzie
f(x)=
x3−8
x−2
.
DziedzinąfunkcjifjestzbiórG=(−∞j2)∪(2j∞),azatempunktx0=2—mimo
żenienależydozbioruG—jestjegopunktemskupienia.Weźmydowolnąliczbęε>0.
Należyznaleźćtakąliczbęδ>0,abydlakażdegox/=2spełniającegonierówność
|x−2|<δ
byłaspełnionanierówność
|
|
|
|
x3−8
x−2
−12
|
|
|
|
<ε.
Zauważmy,że
|
|
|
|
x3−8
x−2
−12
|
|
|
|
=
|
|
|
|
($$
x−2)(x2+2x+4)
$
$$
x−2
$
−12
|
|
|
|
=|(x−2)(x+4)|=
=|x−2||x+4|<|x−2|(|x|+4).
Jeśli|x−2|<δ,to|x|<|x−2|+2<δ+2iwtedy
|
|
|
|
x3−8
x−2
−12
|
|
|
|
<δ(δ+6).
