Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
21
Ćwiczenie1.13.Udowodnićwłasność1.6dlawielomianów,tzn.pokazać,żedo-
wolnywielomianWjestfunkcjąciągłą.
Rozwiązanie.NiechWbędziewielomianem(stopnian).Wtedy
W(x)=anxn+an11xn11+...+a1x+aoj
dlapewnychwspółczynnikówanjan11j...ja1jao,gdziean/=0.Ustalmypunkt
xo∈R.Zwłasności1.1mamy
x→xo
lim
W(x)=an(lim
x→xo
x)
n
+an11(lim
x→xo
x)
n11
+...+a1(lim
x→xo
x)+ao.
Ponieważlimx→x
ox=xo,więc
x→xo
lim
W(x)=anxn
o+an11x
n11
o
+...+a1xo+ao=W(xo)j
czyliwielomianWjestciągływpunkciexo.Zdowolnościpunktuxowynika,że
wielomianjestfunkcjąciągłą.
I
Mówimy,żefunkcjaf:G→RspełniawarunekLipschitzazestałąL>0,
jeślidlakażdychxjy∈Gzachodzi
|f(x)−f(y)|<L|x−y|.
Ćwiczenie1.14.Pokazać,żejeślifunkcjaf:G→RspełniawarunekLipschitza,
tojestfunkcjąciągłą.
Rozwiązanie.Ustalmypunktxo∈G.SkorzystamyzdefinicjiCauchy’egocią-
głościfunkcjiwpunkcie.Niechε>0.Przyjmijmyδ=ε
L.Wtedy,jeśli|x−xo|<δ,
to
|f(x)−f(xo)|<L|x−xo|<Lδ=/
L
/
L
ε
=ε.
Funkcjafjestzatemciągławpunkciexo.Zdowolnościpunktuxo∈Gwynika,
żefunkcjafjestciągławkażdympunkciedziedziny,więcjestciągła.
I
Ćwiczenie1.15.Wykazać,żefunkcjaf:R→Rokreślonawzorem
f(x)={
xdlax∈Q
0dlax/
∈Q
jestciągłatylkowpunkciexo=0.
Rozwiązanie.Najpierwpokażemy,żefunkcjafjestciągławpunkciexo=0.
Niechε>0.Przyjmijmyδ=ε.Wtedy,jeśli|x−0|<δ,to
|f(x)−f(0)|=|f(x)|={
|x|dlax∈Q
0dlax/
∈Q
<|x|<δ=ε.
Funkcjafjestzatemciągławpunkciexo=0.
