Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
23
Podamyterazdefinicjegranicyniewłaściwejfunkcjiwpunkcie.Wprowadzone
definicjebędądefinicjamiwsensieCauchy’ego.Równoważnedefinicjewsensie
Heinegopozostawiamydosformułowaniaczytelnikowi,gdyżsąoneanalogiczne
dotychrozważanychwpoprzednichpunktach.
Niechf:G→Rbędziepewnąfunkcją,axopunktemskupieniazbioruG.
Mówimy,żefunkcjafmawpunkciexogranicę(niewłaściwą)równą∞(odpo-
wiednio:−∞)(rys.1.16),jeślidlakażdegoM>0(odpowiednio:M<0)istnieje
δ>0taka,żedlax∈G,x/=xo,mamy
|x−xo|<δ
⇒
f(x)>M
(odpowiednio:|x−xo|<δ⇒f(x)<M).
f(x)
M
y
0
x0−δ
x0
x
x0+δ
x
Rysunek10160Granicaniewłaściwa
funkcjifwpunkciexowsensieCauchy’ego
Wzapisiesymbolicznymwprzypadkugranicyrównej∞
∀M>o∃δ>o∀x∈G,x/lx
o
(|x−xo|<δ⇒f(x)>M)
oraz,odpowiednio,wprzypadkugranicyrównej−∞
∀M<o∃δ>o∀x∈G,x/lx
o
(|x−xo|<δ⇒f(x)<M).
Piszemywówczas
x→xo
lim
f(x)=∞(odpowiednio:lim
x→xo
f(x)=−∞).
Przykład1.5.Pokażemy,że
x→0
lim
x2
1
=∞.
Przyjmijmyf(x)=1
x2
,x/=0.
Sposób1(definicjaHeinego).Niech(xn)n∈Nbędziedowolnymciągiemowyrazachróż-
nychod0itakim,żelimn→∞xn=0.Ponieważlimn→∞x2
n=0orazx2
n>0,n∈N,
