Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
więc
Ostateczniedostajemy
n→∞
lim
f(xn)=lim
n→∞
x2
1
n
=∞.
x→0
lim
x2
1
=∞.
Sposób2(definicjaCauchy’ego).Pokażemy,że
∀M>0∃δ>0∀x/=0(|x−0|<δ⇒
x2
1
>M).
NiechM>0.Weźmydowolnyx/=0taki,że|x−0|<δ.Wówczas1
|x|>
1
δ,skąd
x2
1
>
δ2.Przyjmując1
1
δ2=M,tzn.δ=1
√M>0,nierówność1
x2>Mzachodzi.
Ostateczniedostajemy
x→0
lim
x2
1
=∞.
I
Analogiczniejakwprzypadkugranicyniewłaściwejfunkcjiwpunkciedefiniu-
jemygranicęniewłaściwąlewostronnąiprawostronnąfunkcjiwpunkcie.Piszemy
x→x
lim
1
o
f(x)=∞(odpowiednio:
−∞)
wprzypadkugranicyniewłaściwejlewostronnejfunkcjifwpunkciexooraz
x→x
lim
+
o
f(x)=∞(odpowiednio:
−∞)
wprzypadkugranicyniewłaściwejprawostronnejfunkcjifwpunkciexo.
Każdązpowyższychgranicnazywamygranicąjednostronnąniewłaściwąfunk-
cjifwpunkciexo.
Przykład1.6.Pokażemy,żegranica
x→0
lim
x
1
nieistnieje.
Niechf(x)=1
x,x/=0.Widzimy(patrztab.1.3),żebiorącargumentyx<0ibliskie
0,funkcjafprzyjmujecorazmniejszewartości,które„dążą”do−∞.Biorącnatomiast
argumentyx>0ibliskie0,funkcjafprzyjmujecorazwiększewartości,które„dążą”
do∞.
Tabela1030Tabelaczęściowawartościfunkcjif(x)=
x
1
f(x)
x
−1
−1
−0j1−0j01−0j001
−10
−100
−1000
0
0j001
1000
0j01
100
0j1
10
0j9
1
Możemyzatemprzypuszczać,żegranicalimx→0
1
xnieistnieje(rys.1.17).
