Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
31
Rozwiązanie.NiechM>0.PrzyjmijmyR=eM>0.Wówczasdlax>R
zmonotonicznościfunkcjilogarytmicznejmamy
lnx>lnR=lneM=Mj
czylilimx→∞lnx=∞.
Ćwiczenie1.20.Pokazać,że
x→1∞
lim
dx2−1=∞.
I
Rozwiązanie.NiechM>0.PrzyjmijmyR=−√M2+1<−1<0.Wtedy
dlax<Rmamyx2>R2,czyli
x
2−1>R2−1>0j
skąd
dx2−1>dR2−1.
Azatem√x2−1>M,cooznacza,żelimx→1∞√x2−1=∞.
I
Obliczaniegranicwnieskończonościsłużydobadaniazachowaniafunkcji„dla
dowolniedużych”lub„dowolniemałych”argumentów.Jeślizachowaniefunkcji
wnieskończonościjesttakiesamojakfunkcjiliniowej,tomówimy,żefunkcjama
asymptotęukośną.
Podamyterazprecyzyjnądefinicjętegopojęcia.Ograniczymysiędoasymptot
ukośnychw∞.Definicjaasymptotukośnychw−∞jestanalogiczna.
Niechf:(aj∞)→Rbędziepewnąfunkcją.Rozważmydwaprzypadki:
i)granicafunkcjifw∞jestwłaściwa,tzn.
x→∞
lim
f(x)=Bj
dlapewnejstałejB.Wtedymówimy,żeprosta(pozioma)y=Bjestasymp-
totąpoziomąfunkcjifw∞(rys.1.24);
ii)granicafunkcjifw∞jestniewłaściwa,wówczasobliczamygranicę
x→∞
lim
f(x)
x
.
Jeślipowyższagranicaistniejeijestwłaściwa,tooznaczającjąprzezA,obli-
czamygranicę
x→∞(f(x)−Ax).
lim
Jeślipowyższagranicaistniejeijestwłaściwa,tooznaczającjąprzezB,otrzy-
mujemy
x→∞(f(x)−(Ax+B))=0j
lim
(1.2)
