Matematyka dla biologów

Dariusz Wrzosek

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-235-1209-7

DOI:

Wydawnictwo:

Uniwersytet Warszawski

Rok wydania:

2010

Liczba stron:

313

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Wrzosek, Dariusz. Matematyka dla biologów. Red. . Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2010, 313 s. ISBN 978-83-235-1209-7

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Wrzosek, D.

T1 Matematyka dla biologów

PB Uniwersytet Warszawski

PP Warszawa

YR 2010

SN 978-83-235-1209-7

Bibliografia BibTex:

@Book{ 168411, author = "Wrzosek, Dariusz", editor = "", title = "Matematyka dla biologów", publisher = "Uniwersytet Warszawski", year = "2010", address = "Warszawa", isbn = "978-83-235-1209-7" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Wrzosek, Dariusz

ED -

TI - Matematyka dla biologów

PB - Uniwersytet Warszawski

CY - Warszawa

PY - 2010

SN - 978-83-235-1209-7

ER -

Netografia (standard APA):

Wrzosek, Dariusz. Matematyka dla biologów [baza danych online] Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2010 [dostęp: 02 05 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/matematyka-dla-biologow-dariusz-wrzosek-168411.

model matematyczny, drzewo filogenetyczne, równanie logistyczne, łańcuch Markowa, model populacyjny

Książka prowadzi Czytelnika od elementarnych pojęć matematyki do zagadnień bardziej zaawansowanych, wykorzystywanych przy tworzeniu modeli matematycznych w biologii i naukach pokrewnych. Szerokim zakresem obejmuje zagadnienia matematyki dyskretnej...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-235-1209-7

DOI:

Wydawnictwo:

Uniwersytet Warszawski

Rok wydania:

2010

Liczba stron:

313

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Wstęp10
1. Logika14
1.1. Pojęcie zdania w logice14
1.2. Podstawowe zdania złożone16
1.3. Tautologie – prawa logiki20
1.4. Wnioskowanie23
1.5. Kwantyfikatory24
2. Podstawy: zbiory, liczby, relacje28
2.1. Matematyka jest nauką aksjomatyczną29
2.2. Aksjomaty-pewniki31
2.3. Operacje na zbiorach32
2.4. Liczby naturalne34
2.5. Liczby całkowite i wymierne37
2.6. Liczby rzeczywiste38
2.7. Liczby zespolone42
2.8. Relacje43
3. Zbiory nieskończone48
3.1. Funkcje48
3.2. Równoliczność zbiorów50
4. Przestrzeń wektorowa. Metryka57
4.1. Przestrzeń Rⁿ57
4.2. Macierze60
4.3. Metryka62
5. Funkcja potęgowa i wykładnicza. Logarytmy i ich zastosowania69
5.1. Funkcje liniowe69
5.2. Potęgowanie71
5.3. Karły i olbrzymy72
5.4. Funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, wielomiany74
5.5. Logarytmy75
5.6. Skala kwasowości pH, skala Richtera79
5.7. Współrzędne log–log80
5.8. Metoda najmniejszych kwadratów (regresji liniowej)82
6. Matematyka dyskretna87
6.1. Kombinatoryka87
6.2. Grafy91
6.3. Cykle w grafie97
6.4. Drzewa filogenetyczne100
7. Podstawy analizy matematycznej105
7.1. Granica ciągu105
7.2. Ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny110
7.3. Szeregi liczbowe112
8. Granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodna funkcji115
8.1. Granica funkcji115
8.2. Ciągłość funkcji117
9. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej własności125
9.1. Definicja i interpretacja pochodnej funkcji125
9.2. Obliczanie pochodnych130
9.3. Ruch ciała, położenie, prędkość, przyspieszenie132
10. Ekstrema funkcji, funkcje wypukłe, gradient funkcji wielu zmiennych135
10.1. Twierdzenia Rolla i Lagrange’a135
10.2. Równania nieliniowe138
10.3. Minimum, maksimum funkcji139
10.4. Zasada optymalizacji. Optymalne strategie żerowania141
10.5. Przybliżanie wartości funkcji146
10.6. Funkcja wypukła, funkcja wklęsła148
10.7. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych153
11. Całki i krzywe158
11.1. Funkcja pierwotna, całka158
11.2. Całka oznaczona, pole obszaru159
11.3. Całka niewłaściwa165
11.4. Krzywe166
11.5. Krzywa Kocha171
12. Modele matematyczne w biologii174
12.1. Co to jest model matematyczny174
12.2. Weryfikacja modelu176
12.3. Czas ciągły, czas dyskretny177
12.4. Równanie Malthusa, wykładniczy wzrost populacji179
12.5. Króliki Fibonacciego i liczba złotego podziału184
13. Podstawowe modele wzrostu pojedynczej populacji w czasie ciągłym189
13.1. Równanie różniczkowe, zmienne rozdzielone189
13.2. Rozpad promieniotwórczy194
13.3. Krzywa przeżywalności195
13.4. Datowanie izotopem węgla ¹⁴C198
13.5. Równanie logistyczne199
13.6. Szacowanie liczebności populacji wg równania logistycznego204
13.7. Eksploatacja zasobów pokarmowych204
14. Modele oddziaływań międzypopulacyjnych w czasie ciągłym209
14.1. Układy równańróżniczkowych209
14.2. Portret fazowy213
14.3. Stabilność stanu stacjonarnego215
14.4. Konkurencja, drapieżnictwo, mutualizm (symbioza)220
14.5. Kinetyka reakcji chemicznych, reakcja Lotki225
15. Modele populacyjne z czasem dyskretnym i modele ze strukturą wieku231
15.1. Model logistyczny z czasem dyskretnym, chaos deterministyczny232
15.2. Równanie logistyczne – związek między modelem z czasem ciągłym a modelem z czasem dyskretnym236
15.3. Wzrost populacji z uwzględnieniem struktury wieku238
15.4. Demografia240
15.5. Model wzrostu populacji roślin dwuletnich242
16. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Modele probabilistyczne I245
16.1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych246
16.2. Aksjomaty rachunku prawdopodobień stwa247
16.3. Prawdopodobień stwo warunkowe251
16.4. Prawdopodobień stwo całkowite252
16.5. Niezależność zdarzeń255
16.6. Łańcuchy Markowa. Modele ewolucji molekularnej256
16.7. Odległość filogenetyczna Jukesa–Cantora260
17. Modele probabilistyczne II266
17.1. Dyskretna zmienna losowa, wartość oczekiwana, wariancja266
17.2. Niezależność zmiennych losowych270
17.3. Ciąg prób Bernoulliego273
17.4. Rozkład dwumianowy274
17.5. Rozkład Poissona276
17.6. Gra o sumie zerowej i gra sprawiedliwa278
17.7. Gra gołąb–jastrząb279
17.8. Strategia ewolucyjnie stabilna282
17.9. Bit, informacja, entropia285
17.10. Wskaźnik różnorodności biologicznej Shannona289
17.11. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym290
17.12. Rozkład jednostajny294
17.13. Rozkład normalny294
17.14. Centralne twierdzenie graniczne297
17.15. Transport i dyfuzja298
18. Zakończenie307
Bibliografia308
Indeks311

Matematykadlabiologów

ZbiórAzawartywzbiorzeBnazywamyjegopodzbiorem.Wszczególności,każ-

dyzbiórjestswoimwłasnympodzbiorem.Takipodzbiór,któryjestróżnyodcałego

zbioru,nazywamypodzbioremwłaściwym.Nawiasyklamrowe{oraz}oznaczają

wzapisiepoczątekikonieclistyelementówdanegozbioru.NiechAbędziezbiorem

dwóchelementówA={a7b}.Zbiór,któregojedynymelementemjesta,czyli{a},

jestzawartywzbiorzeA,cozapisujemyjako:

{a}⊂A.

Każdyzbiórzawartywdanymzbiorzenazywamyjegopodzbiorem.

Językpotocznyniestetyniejesttuprecyzyjny.Zpunktuwidzeniamatematyki

jestniepoprawnestwierdzenie,żeliczba2zawierasięwzbiorzeliczbparzystych.

Powiemypoprawnie,żeliczba2należydozbioruliczbparzystych.Natomiastzbiór,

któregojedynymelementemjestliczba2,jestzawartywzbiorzeliczbparzystych.

Naprzykład,podwzględemadministracyjnymnaszkrajmożnauznaćzazbiór

województw,każdewojewództwojestzbiorempowiatów(pomijamyrozróżnieniena

powiatyziemskieigrodzkie),wskładktórychwchodządopierogminy.Danagmina

należydookreślonegopowiatu,apowiatnależydowojewództwa.Sprawdanejgmi-

nyniezałatwiasięwedługzwykłychprocedurnaposiedzeniurządu,tylkowurzę-

dziepowiatowym.ZtegopunktuwidzeniaPolskanieskładasięzgmintylkozwo-

jewództw.Zaznaczmyjednak,żeużycieokreślenia„Polskaskładasięzgmin”jest

zrozumiałe,oilejasnyjestkontekstwypowiedzi,możejednakprowadzićdoniepo-

rozumień.

2.1.Matematykajestnaukąaksjomatyczną

Pojęciapierwotnesąniezbędne,abywprowadzićpodstawyteoriiujętewpostaciak-

sjomatów.Zapomocąaksjomatówpostulujesięistnieniepewnychzbiorówiwpro-

wadzasięichwłasnościpodstawowe.Postaćtychaksjomatówzostałazaakceptowa-

naprzezzdecydowanąwiększośćmatematyków.Aksjomaty,lubinaczejpewniki,to

zdania,którychprawdziwośćgodzimysięprzyjąćbezdowodu.Przedewszystkimak-

sjomatyniemogąbyćwzajemniesprzeczne,alecowięcej,jakiekolwiektwierdzenie

wmatematyceniemożebyćsprzecznezżadnymzaksjomatówteoriimnogości,tzn.

niemożebyćonorównoważnezezdaniembędącymzaprzeczeniemktóregośzaksjo-

matów.Dopracowaniekoncepcjizbioruipodstawmatematykidokonałosiędopiero

wpierwszejpołowieXXwiekuwramachlogikiidyscyplinymatematykizwanej

teoriąmnogości.

Wartotupodkreślićróżnicępomiędzynaukamiaksjomatycznymi,takimijakma-

tematykalublogika,oraznaukamiprzyrodniczymi,takimijakbiologiaczyﬁzyka.Tu

pojęciapodstawowe,takiejakgenlubmateria,sąwciążprzedmiotemgruntownych

badań.Wtejczyinnejteoriiwramachbiologiilubﬁzykiprzyjmujesiędeﬁnicjetych

pojęć,takabywogólemożnabyłosięnimiwmiaręprecyzyjnieposługiwać.Takie

deﬁnicjeniemająjednakrangiabsolutnychpewników,napodstawiektórychmożna

Brak wyników

Matematyka dla biologów

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra