Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Logika
15
Zastosowanielogikiformalnejprowadzidostwierdzenia,żezdanieFjestprawdziwe
wtedyitylkowtedy,gdyprawdziwejestzdanie:
G.«Nieprawda,żeZiemiasięniekręciiniekwitnąpaprocie».
(1.2)
Rzeczjasna,żesłownażonglerka,wykorzystywananiekiedywcałkiempoważ-
nychokolicznościach,niejestjedynąkorzyściąpłynącązeznajomościprawlogiki,
oczymmamynadziejęprzekonaćCzytelnikawtymikolejnychrozdziałach.
Podstawylogikiklasycznejformułowanowszkolestoików(ChryzypIIIwp.n.e).
ZnanesądziełaArystotelesaAnalitykipierwszeiAnalitykiwtóreobejmującepod-
stawylogikiznanewstarożytności.Rozwójwspółczesnejlogikiszedłwparze
zrozwojemmatematykiizainicjowanybyłpracamiBoole’azpołowyXIXw.Na
przełomiewiekówXIXiXXsądzononawet,żecałąmatematykędasięsprowadzić
dostosowaniapodstawowychregułlogicznych(programHilberta).Słynnedzieło
BertrandaRussellaiAlfredaWhiteheadaPrincipiamathematicaokreśliłopodstawy
logikiformalnejimatematyki,dającnadziejęnazrealizowanieprogramuHilberta,ale
równiesłynneodkryciaGödlazpoczątkuXXw.odebrałynadziejęnazrealizowanie
tejidei.Mówiącwdużymuproszczeniu,okazałosię,żewobrębiepodstawowych
teoriimatematycznych,takichjaknp.teoriazbioruliczbnaturalnychobejmująca
arytmetykę,możnasformułowaćpoprawniezbudowane„sensowne”zdania,októ-
rychniemożemysięprzekonać,czysąprawdziweczynie,zapomocąmetodjedynie
tejteorii.Więcejnatentematmożnaprzeczytaćwksiążceohistoriimatematyki
[28]lubwpopularnonaukowejksiążce[9].
1.2.Podstawowezdaniazłożone
Najczęściejmamydoczynieniazezdaniamizłożonymi,którychpodstawowetypyte-
razpoznamy.Przyjmujemykonwencję,żezdaniaoznaczanebędąliteramip7q7r....
•Zaprzeczeniezdaniapoznaczamyprzez¬p.
Podstawowezdaniazłożoneokreślasię,definiującichwartośćlogicznąnapodsta-
wiewartościlogicznejzdańskładowych.Dodajmy,żeponiższepodstawowezdania
złożonemająswojeodpowiednikiwteoriizbiorów,oczymwspomnimywnastępnym
rozdziale.
•Równoważnośćzdańp7q,ozn.p⇔q,odpowiadawyrażeniu:zdaniepjest
prawdziwewtedyitylkowtedy,gdyprawdziwejestzdanieq.Zdaniepjestrówno-
ważnezdaniuq,gdyobazdaniasąjednocześnieprawdziwebądźfałszywe.
Możliwewartościlogicznezdaniazłożonegowzależnościodwartościzdańskła-
dowychprzedstawiasięwtzw.tabelcelogicznej.Nakolejnychpolachostatniejko-
lumnytabelkiokreślonesąwartościlogicznezdaniazłożonego,wtymwypadku
p⇔q,wzależnościodróżnychukładówwartościzdańpiq,kolejnoprzedsta-
wionychwwierszach(kolumnachpoziomych)tabelki:
