Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
Matematykadlabiologów
ogromnywpływnarozwójmatematykiwciąguostatnich250lat.Ostatnionowewy-
zwaniastawiająbiologiainaukispołeczne.Zdrugiejstrony,znajdujesięzaskakujące
zastosowania„czystejmatematyki”,np.wykorzystaniealgebrywkryptologii.
2.2.Aksjomaty-pewniki
Przedstawimytuniektórespośródsystemuaksjomatówteoriimnogościznanegojako
systemZermelo–Fraenkla–E.F.Zermelo(1877–1953),A.A.Fraenkel(1891–1965);
(patrznp.[43]s.307).Większośćaksjomatówustanawia,jakbydekretuje,istnienie
pewnychzbiorów.Pierwszyzaksjomatówwyróżniajedenzbiórzwanyzbiorempu-
stym,głosząc,żeistniejezbiór,któryniezawierażadnychelementów.Wyróżnienie
każdegoinnegozbiorubyłobysporne,azbiórpustymawpewnymsensieminimalny
zbiórcech.
A1.Istniejezbiórpusty,ozn.∅,czylitakizbiór,że
¬(∃xx∈∅).
Cowięcej,zdefinicjiinkluzjizbiorówidefinicjiimplikacjiwynika,żezbiórpusty
jestzawartywdowolnymzbiorze,gdyżpoprzednikimplikacji:
x∈∅⇒x∈A
jestzdaniemfałszywym,zatemimplikacjatajestprawdziwa,awięcjakikolwiekzbiór
Azawierazbiórpusty.
A2.IstniejezbiórzwanyzbiorempotęgowymzbioruA.
SkładasięonzewszystkichpodzbiorówzbioruA.ZaksjomatówA1iA2wynika,
żemamyzatemjużprzynajmniejdwazbiory,zbiórpustyizbiórjednoelementowy,
któregojedynymelementemjestzbiórpusty,mianowiciezbiórpotęgowyzbioru∅
czyli{∅}.Jakzobaczymydalej,tostwierdzeniedajepodstawędozbudowaniazbioru
liczbnaturalnych.ZbiórwszystkichpodzbiorówzbioruAoznaczasięjakoP(A).
JeśliA={a7b},to:
P(A)={∅7{a}7{b}7{a7b}}.
Wprzypadkuzbiorów,którychwszystkieelementymożemywymienićpokolei,ist-
nieniezbioruwszystkichpodzbiorówniebudziwątpliwości.Jesttojednakprzypa-
dekszczególny.Kolejnyaksjomatpozwalaprzezzaprzeczeniestwierdzić,kiedydwa
zbiorysąróżne.
A3.Równośćzbiorów:
A=B7
w.t.w.gdy∀x∈A(x∈A)⇔(x∈B).
Kolejnyaksjomatmówi,żeistniejązbiorywprowadzonezapomocąfunkcjizda-
niowych.Umożliwiaonokreślaniezbiorównietylkopoprzezwyliczanieichelemen-
tów,cowwieluprzypadkachniejestmożliwe.
