Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.2.4.Wielowymiarowaprzestrzeńprobabilistyczna
JakoprzestrzeńzdarzeńelementarnychIprzyjmujemyn-wymiarowąprzestrzeń
euklidesowąR
n
.Jako“-ciałofprzyjmujemyrodzinępodzbiorówborelowskichR
n
,
którajestnajmniejszym“-ciałemzawierającymzbiorypostaci(–|,x
1
]×(–|,x
2
]×
×…×(–|,x
n
],gdziex
1
,x
2
,…,x
n
~R.Rodzinętęoznaczamysymbolemb(R
n
).
Prawdopodobieństwodefiniujemyzapomocąn-wymiarowejdystrybuantyF,która
jestfunkcjąowłasnościachstanowiącychuogólnieniewłasnościdystrybuantyjedno-
wymiarowej.
Definicja8.FunkcjęF:R
n
oRnazywamyn-wymiarowądystrybuantą,jeżeli:
1)Fjestfunkcjąn-wymiarowąniemalejącą,toznaczy
F(b
1
,b
2
,…,b
n
)–F(a
1
,b
2
,…,b
n
)–F(b
1
,a
2
,b
3
,…,b
n
)–…
–F(b
1
,b
2
,…,b
n–1
,a
n
)+…+(–1)
n
F(a
1
,a
2
,…,b
n
)"0
2)Fjestfunkcjąn-wymiarowoprawostronnieciągłą,tzn.żedladowolnychnierosnących
ciągów{x
(k)
i
:k=1,2,…},zbieżnychdox
i
,gdziei=1,2,…,n,
lim
F(x
(k)
1
,x
(k)
2
,…,x
(k)
n
)=F(x
1
,x
2
,…,x
n
)
ko|
3)Fmagranice:
x
i
lim
o–|
F(x
1
,x
2
,…,x
n
)=0
lim
F(x
1
,x
2
,…,x
n
)=F
i
(x
1
,…,x
i–1
,x
i+1
,…,x
n
)
x
i
o|
oraz
ko|
lim
F(x
(k)
1
,x
(k)
2
,…,x
(k)
n
)=1
gdzie{x
(k)
i
:k=1,2,…},dlai=1,2,…,nsąciągamidążącymido|.
JeżeliA=(–|,x
1
]×(–|,x
2
]×…×(–|,x
n
]
toprawdopodobieństwotegozdarzeniajestokreślonewzorem:
P(A)=F(x
1
,x
2
,…,x
n
)
JeżeliA=(a
1
,b
1
]×(a
2
,b
2
]×…×(a
n
,b
n
]
to
P(A)=F(b
1
,b
2
,…,b
n
)–F(a
1
,b
2
,…,b
n
)–F(b
1
,a
2
,b
3
,…,b
n
)–…
–F(b
1
,b
2
,…,b
n–1
,a
n
)+…+(–1)
n
F(a
1
,a
2
,…,b
n
)
Ztwierdzeniaorozszerzeniumiarywynika,żezapomocądystrybuantymożna
określićprawdopodobieństwowszystkichzdarzeńbędącychelementamib(R
n
).
18
