Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.3.Prawdopodobieństwowarunkowe,twierdzenieBayesa
Bardzoważnympojęciemwteoriiprawdopodobieństwajestpojęcieprawdopodobieństwa
warunkowego.
Niech(I,f,P)będziedowolnąprzestrzeniąprobabilistycznąiniechB~f
będziezdarzeniemododatnimprawdopodobieństwieP(B).
Definicja9.PrawdopodobieństwemwarunkowymzdarzeniaA~fpodwarun-
kiemBnazywamyliczbę
P(AlB)=
P(AcB)
P(B)
Definicjatajestpoprawnajedyniewtedy,kiedyP(B)
0.
Przykład1.1.
(1.9)
Przyjmijmy,że(I,f,P)jestskończonąprzestrzeniąprobabilistyczną,zklasycznie
określonymprawdopodobieństwemP(A)=
N
N
I
A
,gdzieN
A
jestliczbąelementówzbioru
A,natomiastN=N
I
jestliczbąwszystkichzdarzeńelementarnych.Wówczas
P(AlB)=
N
N
AcB
B
Twierdzenie2.FunkcjaP
B
:foRokreślonawzorem
P
B
(A)=P(AlB)
(1.10)
jestprawdopodobieństwem(miarąprobabilistyczną)wprzestrzenimierzalnej(I,f).
Prostydowódtegotwierdzeniapoleganawykazaniu,żetakokreślonafunkcjaspełnia
warunkidefinicjiprawdopodobieństwa.
Mnożącobustronnierównośćdefiniującąprawdopodobieństwowarunkowe
otrzymujemywzórnaprawdopodobieństwoiloczynuzdarzeńAcB:
P(AcB)=P(B)P(AlB)
(1.11)
JeżeliP(A)
0,tokorzystajączdefinicjiprawdopodobieństwawarunkowego
P(BlA)otrzymujemyrówność:
P(AcB)=P(A)P(BlA)
(1.12)
wykazać,że
JeżeliP(A
1
cA
2
c…cA
n–1
)
0,tometodąindukcjimatematycznejmożna
P(A
1
cA
2
c…cA
n
)=P(A
1
)P(A
2
lA
1
)…P(A
n
lA
1
cA
2
c…cA
n–1
)(1.13)
Definicja10.ZdarzeniaA
1
,A
2
,…,A
n
~ftworząskończony,zupełnyukład
zdarzeń,jeżeli
1)A
2)A
1
i
dA
dA
j
2
=∅
d…dA
dlaiXj.
n
=I,
19
