Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
48
2.Postulatymechanikikwantowej
Rozwiązanierównania(I.5,zad.2)jest
ψ(x)=e
hpx
¯
i
lub
ψ(x)=eikx,
(2.29)
gdziek=
h.Wartościwłasneoperatorapędubędąwięcrówne–
¯
p
hk.Jestto
przypadekniezdegenerowanyowidmieciągłym.Wobectego,powinnysię
dotegoprzypadkustosowaćuwagipoprzedniegoparagrafu.Wszczególno-
ści,warunekortogonalizacjipowinienbyćwyrażonyprzezfunkcjęDiraca.
Dokonajmybezpośredniegorachunku:
∫
-∞
+∞
ψ∗
k1(x)ψk
2(x)dx=∫
-∞
+∞
ei(k2-k1)xdx=lim
a→∞∫
-a
+a
ei(k2-k1)xdx=
(2.30)
a→∞ei(k2-k1)x
lim
i(k2−k1)
l
l
l
-a=lim
+a
a→∞
2sin(k2−k1)a
k2−k1
=2πδ(k2−k1).
Jeżeliwprowadzimywspółczynniknormalizacyjny(2π)-1/2,wówczas
ψ(x)=(2π)-1/2eikx
izamiast(2.30)otrzymujemy
∫
-∞
+∞
ψ∗
k1(x)ψk
2(x)dx=δ(k2−k1),
(2.31)
(2.32)
awięc„unormowanie”dodeltyDiraca„wektorów”onieskończonejdługości.
Pokażemyterazbardzopouczającyprzykład,wjakistotnysposóbzwią-
zanesąwarunkibrzegowezfizykąrozpatrywanegozagadnienia.Rozważmy
mianowicietensamprzypadekzagadnieniawłasnegopędudlacząstkipo-
ruszającejsiępoosix,ztymwszakże,żeograniczymyruchcząstkido
przedziału(−L,L)iprzyjmiemy,żenakrańcachprzedziałufunkcjawłasna
ψ(x)przyjmujetesamewartości
ψ(L)=ψ(−L).
Tewarunkibrzegowe,powstawieniudo(2.29),dają
eikL=e-ikL,
astąd
sinkL=0
(2.33)
(2.33a)
