Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
Dlaajb∈Xmożnarównieżrozpatrywaćprzedziałypostaci
[ajb)={x∈X:aŚx<b}oraz(ajb]={x∈X:a<xŚb}.
2.Porządki
RelacjęŚporządkującązbiórXnazywamyrelacjąliniowoporządkującąlub
porządkiemliniowym,gdydladowolnychxjg∈Xspełniaonanastępującywaru-
nekliniowości:
xŚglubgŚx.
Parę(XjŚ)nazywamywówczaszbioremliniowouporządkowanymlubłańcuchem.
Załóżmy,że(YjŚ)i(XjŚ)sązbioramiuporządkowanymi.Mówimy,żepo-
rządekŚwzbiorzeXjestprzedłużeniemporządkuŚwzbiorzeY,jeśliwarunek
xŚgpociągawarunekxŚgdladowolnychxjg∈Y.Jeślinatomiastdlado-
wolnychxjg∈YspełnionyjestwarunekxŚgwtedyitylkowtedy,gdyxŚg,
tomówimy,żeporządekŚwzbiorzeYjestindukowanylubdziedziczonyprzez
porządekŚwzbiorzeX.Formalniewięcfakt,żeporządekŚjestprzedłużeniem
porządkuŚoznaczainkluzjęŚ⊆Ś,afakt,żeporządekŚjestindukowanyprzez
porządekŚoznaczarównośćŚ=Ś∩(Y×Y).JeślizatemporządekŚwYjest
indukowanyprzezporządekŚwX,toporządekŚjestprzedłużeniemporząd-
kuŚ,choćniekoniecznienaodwrót.Wprzypadku,kiedyporządekŚwzbiorze
XjestprzedłużeniemporządkuŚwzbiorzeYstosowaćbędziemyoznaczenie
(YjŚ)⊑(XjŚ),awprzypadkukiedyporządekŚwzbiorzeYjestindukowany
przezporządekŚwzbiorzeX—oznaczenie(YjŚ)⊑i(XŚ).
Nietrudnosprawdzić,żewdowolnejrodziniezbiorówuporządkowanychza-
równorelacja⊑,jakirelacja⊑ijestporządkiem.Przydodatkowymzałożeniu
otychrelacjachprawdziwyjestponiższylemat.
Lemat2.1.NiechRbędzierodzinązbiorówuporządkowanychorazniech
S=U{X:istniejetakarelacjaŚjże(XjŚ)∈R}j
Ś=U{Ś:istniejetakizbiórXjże(XjŚ)∈R}.
(1)Jeśli⊑jestrelacjąliniowoporządkującąR,toŚjestporządkiemwzbiorze
Soraz(XjŚ)⊑(SjŚ)dlakażdego(XjŚ)∈R.
(2)Jeśli⊑ijestrelacjąliniowoporządkującąR,to(XjŚ)⊑i(SjŚ)dlakaż-
dego(XjŚ)∈R.
Dowód.(1):Niechx∈S.IstniejetakizbiórXoraztakarelacjaŚ,żex∈X
oraz(XjŚ)∈R.NamocyzwrotnościrelacjiŚmamyxŚx.ZatemxŚx,co
oznacza,żerelacjaŚjestzwrotna.Załóżmy,żexjg∈SorazxŚgigŚx.
IstniejątakiezbioryXjYorazrelacjeŚjŚ′,żexŚgigŚ′x,przyczym(XjŚ)j
(YjŚ′)∈R.Namocyliniowościrelacji⊑,możemyzałożyć,że(YjŚ′)⊑(XjŚ).
WtedygŚx.Zatemx=g,codowodzi,żeŚjestrelacjąsłaboantysymetryczną.
Analogiczniedowodzimy,żerelacjaŚjestprzechodnia.Fakt,żeporządekŚwS
jestprzedłużeniemdowolnegoporządkuŚwzbiorzeX,gdzie(XjŚ)∈R,wynika
wprostzdefinicjirelacjiŚ.
