Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
24.wprowadzeniehistoryczne
I+q
/;kmabyćnapowłocemasy,pozwalałnamnawybórtakiegopęduk,jaki
namsiępodoba,przynajmniejwskończonejobjętościprzestrzenipędowej.Ową
dostateczniedużepiq.Zatemjeśliv
objętośćprzestrzenipędowejmożnauczynićtakdużą,jakchcemy,wybierając
czteropędówIiqnapowłocemasy,tov
OCObI
OCObI
O(I;q)10dlajakichśustalonych
O(k)10dlaprawiewszystkich
szczególnegoczteropędukonapowłocemasyzachodziv
czteropędówknapowłocemasy.Wtakimjednakwypadku,jeślidlajakiegoś
OCObI
O(ko)10,toproces
rozpraszania,wktórymcząstkioczteropędachkoorazkrozpraszająsięwcząstki
przezsymetrięgenerowanąprzezgeneratorv
oczteropędachk
/orazk//,będziedlaprawiewszystkichk,k/orazk//zabroniony
OCOBI
O,cojestsprzeczneznaszym
żejeżeliv
założeniemoanalitycznościamplitudyrozpraszania.Wyciągamywięcwniosek,
warunekpowłokimasy,tov
OCObI
O(I;q)10dlajakichśustalonychczteropędówIiqspełniających
OCObI
O(k)10dlawszystkichk,azatemv
OCOBI
O1
0,czyli,żeodwzorowanieprzeprowadzająceBI
OwbI
O(I;q)jestizomorfizmem.
N(/
PonieważliczbaniezależnychmacierzybI
;IMIM)XN(/;q
MqM),jednąznatychmiastowychkonsekwencjijestto,że
O(I;q)niemożeprzewyższać
możeistniećconajwyżejskończonaliczbaniezależnychgeneratorówsymetriiBO.
Jaktopodkreślili,dowodzącswegotwierdzenia,ColemaniMandula,założenia,
żealgebrasymetriijestskończeniewymiarowa,nietrzebaczynićniezależnie.
Twierdzeniazpodrozdziału15.2mówiąnamnastępnie,żealgebraLiegoskoń-
czeniewymiarowychmacierzyhermitowskich,takichjakbI
O(I;q)dlaustalonychI
iq,jestconajwyżejsumąprostąjakiejśzwartejpółprostejalgebryLiegoipewnej
liczbyalgebrLiegogrupU(1).Ponieważwiemyjuż,żetaalgebraLiegojestizo-
morficznaalgebrzegeneratorówsymetriiBI
O,zatemoperatoryBI
Orównieżmuszą
rozpinaćconajwyżejsumęprostązwartejpółprostejalgebryLiegoialgebrLiego
grupyU(1).
ZajmijmysięnajpierwalgebramiLiegogrupU(1).Dlakażdejparypędówna
powłocemasyIiqmożemyznaleŹćgeneratorlorentzowskiJ,któryniezmienia
aniI,aniq.(JeśliczterowektoryIiqsączasoweirównoległedosiebie,weŹmy
generatorJ,którygenerujeobrotywokółwspólnegodlapiqkierunku.Winnym
wypadkuczterowektoremczasowymbędzieI+q,więcmożemywziąćJ,który
generujeobrotywokółwspólnegodlapiqkierunkuwukładzieśrodkamasy,
wktórymp1;q).Możemynastępniewybraćbazęstanówdwucząstkowych
diagonalizującąJ,także
J!Im;qπ>1σ(m;π)!Im;qπ>)
(24)B)20)
PonieważPMkomutujezewszystkimigeneratoramiBI
O,akomutator[J;PM]jest
liniowąkombinacjąskładowychPM,więcPMkomutujezewszystkimikomuta-
torami[J;BI
O]idlategogeneratorsymetrii[J;BI
O]musibyćjakąśkombinacją
liniowąoperatorówB;,którezdefinicjitworzązbiórzupełnygeneratorówsyme-
triikomutującychzPM.Dokładniej,ponieważmacierzereprezentującekomuta-
torygeneratorówsymetriisązkoniecznościbezśladowe,komutator[J;BI
O]musi
