Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
DodatekB.TwierdzenieColemanażManduli
43
byćkombinacjąliniowągeneratorówB
;.Alekażdygenerator(hermitowski)B
I
ź
I
grupyU(1)musiałbywalgebrzegeneratorówBI
;komutowaćzewszystkimiBI
;,
więcwszczególnościmusiałbykomutowaćtakżez[J;BI
ź]:
[B
ź;[J;B
I
ź]]10)
I
Biorącwartośćoczekiwanątegopodwójnegokomutatorawbaziestanówdwu-
cząstkowych,wktórejoperatorJjestdiagonalny,otrzymujemy
01v
m!,n!
(σ(m
/;π/);σ(m;π))
\
\l
\
\
bI
ź(I;q)l
m!n!,mn
\
\
\
\
2
;
(24)B)21)
dladowolnychmiπ.WskaŹnikiteprzebiegająskończonezakresy,więcjeśliwy-
stępowałabyjakaśwartośćwskaŹnikaσ,dlaktórejistniałybyliczbymiπdające
σ(m;π)1σorazm
/iπ/dająceσ(m/;π/)1σ,ajednocześniezachodziłoby
(bI
ź(I;q))m!n!,mn10,tomusiałabyteżistniećjakaśnajmniejszawartośćwskaŹ-
nikaσ,dlaktórejbytozachodziłoiwtakimprzypadkuprawastronarówności
(24.B.21)dlatakichliczbmiπbyłabydodatniookreślona,cobybyłosprzeczne
zrównością(24.B.21).Wnioskujemyzatem,że(b
I
ź(I;q))m!n!,mnmusząznikaćdla
tychwszystkichwartościm,π,m
/iπ/,dlaktórychσ(m/;π/)1σ(m;π).Ponie-
ważalgebramacierzybI
ź(I;q)jestizomorficznaalgebrzeoperatorówBI
ź,oznacza
to,żekażdyzgeneratorówBI
źgrupU(1)komutujezJ.Ponieważmożemywy-
braćI+qwdowolnymkierunkuczasowym,wynikastąd,żekażdyzgeneratorów
BI
źgrupU(1)komutujezewszystkimigeneratoramiJMujednorodnejgrupyLo-
rentza.Fakt,żegeneratoryBI
źkomutująztym,cowpodrozdziale2.5nazywaliśmy
npchnięciami",implikuje,żemacierze(bI
ź(I))n!nniezależąodtrójpędu,afakt,
żekomutująonezobrotami,oznacza,że(b
I
ź(I))n!ndziałająnawskaŹnikispinowe
jakmacierzejednostkowe.Zatemgeneratorytesągeneratoramizwykłejgrupy
symetriiwewnętrznych.
PozostałyjeszczeoperatoryBI
O,któregenerująjakąśpółprostązwartąalge-
bręLiego.Argumentyprzedstawionewpodrozdziale24.1(będącetrochębardziej
jawnąwersjąrozumowaniaprzedstawionegoprzezColemanaiMandulę)mówią
nam,żegeneratorypółprostejzwartejczęścialgebryLiegokomutujązprzekształ-
ceniamiLorentza.Tozaś,jakpokazaliśmywprzypadkugeneratorówgrupU(1),
oznacza,żeitegeneratorysągeneratoramisymetriiwewnętrznych.Pokazaliśmy
zatem,żekomutującezoperatoramiPMgeneratorysymetriiBOsąalbogenera-
toramisymetriiwewnętrznych,alboliniowymikombinacjamiskładowychsamych
operatorówPM.
Musimynastępnierozpatrzyćmożliwośćistnieniageneratorówsymetrii,które
niekomutujązoperatorempędu.DziałanieogólnegogeneratorasymetriiAOna
stanjednocząstkowy!I;π>oczteropędzieImiałobypostać
