Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.8.Trójwymiaroweróżniczkowerównaniefalowe
27
Powrócimydotychwyrażeńidotego9codziejesię
2.8.Trójwymiaroweróżniczkowe
wobszarze9wktórymfalesięnasiebienakładają9pod-
równaniefalowe
czasbardziejszczegółowegoomawianiazjawiskain-
terferencji.
współrzędnychkartezjańskichjako
Płaskafalaharmonicznaczęstojestzapisywanawe
Zewszystkichtrójwymiarowychfaljedyniefale
płaskie(zarównoharmoniczne9jakinie)mogąroz-
chodzićsięwprzestrzeni9niezmieniającswojego
(2.51)
profilu.Oczywiściesampomysłopisywaniafalija-
kozaburzenia9któregoprofiljestniHzmiHnniczy
lub
(ang.unIltHrHd)9jestpozbawionysensu.Winny
(2.52)
sposóbmożemyzdefiniowaćfalęjakorozwiązanie
różniczkowegorównaniafalowego.Jednakwtym
gdzie!9ȕorazysąkosinusamikierunkowymi(ang.
ĺ
celubędzienampotrzebnetrójwymiaroweróżnicz-
dirHctioncosinHs)wektorak(zadanie2.39).Wzależ-
kowerównaniefalowe(ang.thrHH-dimHnsionIldif-
nościodichskładowych9długośćwektorafalowegoto
fHrHntiIlwIvHHquItion).Łatwomożemyprzewi-
(2.53)
dziećjegopostać9którabędzieuogólnieniemjedno-
wymiarowegorównaniafalowegoopisanegoprzez
ioczywiście
(2.11).Pamiętajmy9żewewspółrzędnychkartezjań-
(2.54)
skich9zmienneodpowiadającepołożeniux9yizmu-
sząbezwątpieniabyćsymetryczne*wopisietrój-
Przeprowadziliśmyanalizęfalpłaskichzeszczegól-
wymiarowym.Funkcjafalowaȥ(x9y9z9t)opisana
nymuwzględnieniemfunkcjiharmonicznych.Wyjąt-
równaniem(2.52)jestszczególnymrozwiązaniem
koweznaczenietychfaljestdwojakie.popierwszefale
różniczkowegorównaniafalowego9któregoszuka-
sinusoidalnemogąbyćgenerowanewprostysposóbza
my.Analogiczniedowyprowadzeniarównania
pomocąoscylatorówharmonicznych9apodrugiek!ż-
(2.11)9obliczamynastępującepochodnecząstkowe
d!trójwymi!row!I!l!możebyćwyr!żon!j!kosu-
zrównania(2.52).
lerlozycj!I!llł!skichmającychróżneamplitudy
iróżnekierunkipropagacji.
(2.55)
Napewnomożemysobiewyobrazićzaburzenie
-zbiórfalpłaskich9takichjakteprzedstawionena
rys.2.209któryzmieniasięwjakiśinnysposóbniż
(2.56)
harmonicznie(zobaczzdjęcie).Wnastępnymrozdziale
okażesię9żeharmonicznefalepłaskiesąwrzeczysa-
mejszczególnymprzypadkiembardziejogólnegoroz-
(2.57)
wiązaniafunkcjifalowejwpostacifalipłaskiej.
oraz
(2.58)
Dodająctrzypochodneprzestrzenneikorzystając
zfaktu9że!2+ȕ2+y2=19otrzymamy
(2.59)
Gdypołączymywyrażenie(2.59)zpochodnączasową9
opisanąrównaniem(2.58)9ipodstawimyD=Ȧ/k9
otrzymamy
ObrazpojHdyQczHgoskolimowaQHgoimpulsulasHrowHgoktó-
ryÄociHra´sięopowiHrzchQięliQijkiITHQbardzokrótkiimpuls
odpowiadafragmHQtowifalipłaskiHjITrwałoQ300Â10–15s
imiałdługośćzalHdwiHułamkamilimHtra()otIdziękiuprzHjmości
JIValdmaQisaiNIHIAbramsoQa)
*Wewspółrzędnychkartezjańskichżadnazosiniejestwyróż-
niona9dlategomoglibyśmyzamienićnazwyosi9np.xnaz9ynax
orazznay(abyukładzostałprawoskrętny)9bezzmienianiaposta-
ciróżniczkowegorównaniafalowego.
