Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.LICZBYZESPOLONE
leczwtensposóbdysponujemytylkosamymułamkiem.Mnożąclicznikimia-
nownikprzezliczbęsprzężoną(a21b2I),otrzymujemy:
a1+b1I
a2+b2I
=
(a1+b1I)(a21b2I)
(a2+b2I)(a21b2I)
=
=
a1a21a1b2I+b1a2I1b1b2I
a2
2+b2
2
2
=
(1.30)
=
a1a2+b1b2
a2
2+b2
2
+
b1a21a1b2
a2
2+b2
2
I.
Wwynikuuzyskaliśmywzórnaobliczenieilorazudwóchliczbzespolonych.
Wartotopoprzećprzykłademdlaliczbl1=1+5Iorazl2=2+4I:
1+5I
2+4I
=
(1+5I)(214I)
(2+4I)(214I)
=
214I+10I120I2
20
=
(1.31)
=
22
20
+
20
6
I=
11
10
+
10
3
I.
Możnateżwyznaczyćodwrotnośćliczbyzespolonej
l=a+bI
.Abyuzyskać
gotowywzór,należyrozpocząćodpodstawowegozapisu:
l11=
1
l
.
(1.32)
Zaczynamyodmnożeniawielkości
1/l
przezliczbęsprzężoną
l⋆
.Wykorzystujemy
teżfakt,iżlll⋆=|l|2:
l11=
ll⋆
l⋆
=
|l|2
l⋆
.
(1.33)
Dalej,stosując(1.28),uzyskamygotowywzórnawyznaczenieliczbyodwrotnej:
l11=
a2+b2
a1bI
=(
a2+b2)1(
a
a2+b2)I.
b
(1.34)
Przykładowo,jeślichcemyobliczyć
(112I)11
,tokolejneprzekształceniasą
następujące
(112I)11=
12+22
1+2I
=
1
5
+
2
5
I.
(1.35)
Wartosprawdzić,czyobliczeniabyłypoprawne.Powinnabyćspełnionarelacja:
lll11=1:
(112I)(112I)11=(112I)(
1
5+2
5
I)=
=(1l
1
5+(12)2
5)+(1l
2
5+(12)l1
5)I=
=1+0I=1.
(1.36)
23
