Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
2.Postulatymechanikikwantowej
definicjitychoperatorówprzezzadaniewarunkówkomutacji.Jeżeliwięc
operatoryspinuoznaczymyodpowiednioprzezsx,sy,sz,tojedynadefinicja
tychoperatorówwmechanicekwantowejdanajestprzezwarunkikomutacji
analogicznedo(2.17),awięcprzez
[sx,sy]=i–
hsz
[sy,sz]=i–
hsx
[sz,sx]=i–
hsy.
(2.18)
Wykorzystującwarunkikomutacji(2.17)operatorówmomentupędu
możnabezpośrednimrachunkiemsprawdzić,że
[lx,l2]=[ly,l2]=[lz,l2]=0,
(2.19)
awięcwspółrzędnemomentupędukomutujązkwadratemcałkowitegomo-
mentupędu.KorzystajączwynikówprzypisuI.4,możemypowiedzieć,żedla
dowolnychdwóchwspółrzędnychmomentupęduniemożnadobraćwspól-
negoukładufunkcjiwłasnych,gdyżteoperatoryniekomutują.Możnana-
tomiastdobraćtakiukładfunkcjiwłasnychdlajednejzewspółrzędnych
ikwadratucałkowitegomomentupędu.Dotegocelubierzesięzazwyczaj
paręoperatorówlzil
2.
Wszystkieoperatoryrozważanepowyżejbyłyoperatoramihermitowski-
mi.Zdefiniujemyteraztrzynoweoperatory
l+=
1
–
h
(lx+ily)
l-=
–
h
1
(lx−ily)
lo=
–
h
1
lz,
(2.20)
zktórychdwapierwszeniesąoperatoramihermitowskimi,gdyżnp.
(l+)
+=
–
h
1
(lx+ily)
+=
–
h
1
(lx−ily)=l-.
Niemniej,operatoryteodgrywająważnąrolęwformalnychrozważaniach
kwantowych.Opierającsięnawarunkachkomutacjioperatorówmomentu
pędu,możnałatwowyliczyćkomutatorynowychoperatorów(2.20).Komu-
tatorytesąnastępujące:
[l+,l-]=2lo
[lo,l+]=l+
[lo,l-]=−l-.
(2.21)
Zadanie1
Wykazaćsłusznośćwzorulz=−i–
h∂
∂ϕ.
Zadanie2
Obliczyćkomutator[lz,l
2].
Zadanie3
Sprawdzićwarunkikomutacji(2.21).
