Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
więc
kL=nπ,
coograniczawartościwłasne
p=–
hk=
π–
L
h
n,
n=0,±1,±2,...
49
(2.34)
iodpowiednioograniczafunkcjewłasne.
Mamytutajdodatkowąilustracjętego,jakbazafunkcjiwłasnychonie-
przeliczalnejliczbiewymiarówionieskończonej„długości”,awięcfunkcji,
któreniemogąbyćelementamiprzestrzeniHilberta,możebyćzawężonado
bazycoprawdanieskończonej,aleprzeliczalnej.Ponadto,jesttobazafunk-
cjiookreślonymiloczynieskalarnymiokreślonejdługościprzyzachowanej
ortogonalności,comożnapokazaćbezpośrednimrachunkiemwykorzystując
(2.33a)
∫
-L
L
ψ∗
k1(x)ψk
2(x)dx=∫
-L
L
ei(k2-k1)xdx=(2L)δk
1k2,
gdzieδk
1k2jestdeltąKroneckera.
Wobectego,ortogonalnabazafunkcjiwłasnychoperatorapęducząstki
poruszającejsiępoosixwzamkniętymprzedzialejestdanaprzez
ψk(x)=(2L)
-1/2eikx
(2.35)
zwarunkiem(2.34).
Zauważmy,żeprzechodzączLdocorazwiększychliczb,otrzymamy
corazbardziejzagęszczonewidmoliniowe(2.34),którewgranicyprzejdzie
wwidmociągłe.
Uogólnieniedotrzechwymiarówjestproste.Równaniawłasneoperato-
rówpzipyiichrozwiązaniatymsiętylkoróżniąodzagadnieniawłasnego
operatorapx,żesąwypisanewinnychwspółrzędnych.Wobectegofunkcja
ψ(xgz)=eikxx·eikyy·eikzz=eik·r
(2.36)
jestjednocześniefunkcjąwłasnąwszystkichtrzechoperatorówpędu(opera-
torytekomutują!),kjestterazdokładniewektoremfalowym(1.16)owspół-
rzędnych
kx=
L
π
nx
ky=
L
π
ny
kz=
L
π
nz
(2.37)
dlaprzypadkuruchuograniczonegodosześcianuokrawędzi2L,bądźwek-
torkjestdowolnydlaruchunieograniczonego.Normalizacjęukładu(2.36)