Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
50
2.Postulatymechanikikwantowej
możnaprzeprowadzićprzypomocyδKroneckera,jeżelizamkniemycząstkę
wsześcianieokrawędzi2L,bądźprzypomocyδDiraca,jeżeliniebędzie-
mynakładaćżadnychwarunkówograniczających.Wpierwszymprzypadku
układortonormalnyfunkcjiwłasnychprzyjmiepostać
ψ(xgz)=(2L)-3/2eik·r,
(2.38)
kograniczoneprzez(2.37),awarunekortogonalizacjibędziespełnionywpo-
staci
∫
-L∫
L
-L∫
L
-L
L
ψ∗
k1(xgz)ψk
2
(xgz)dxdgdz=δk
x1,kx2δk
y1,ky2δk
z1,kz2≡
≡δk
1,k2.
(2.39)
Wprzypadkuciągłymukładfunkcjiwłasnych
ψ(xgz)=(2π)-3/2eik·r,
k−dowolne
(2.40)
spełnianastępującywarunek„ortonormalizacyjny”:
∫
-∞∫
∞
-∞∫
∞
-∞
∞
ψ∗
k1(xgz)ψk
2(xgz)dxdgdz=
(2.41)
=δ(kx
1−kx
2)δ(ky
1−ky
2)δ(kz
1−kz
2)≡δ(k1−k2).
Rozważmyjeszczetrzeciąwłasnośćukładufunkcjiwłasnychoperatoraher-
mitowskiego:własnośćzupełności.
Dowolnafunkcjaokreślonawsześcianieokrawędzie2Lispełniająca
warunkibrzegowe(2.33)dlakażdejzezmiennychdasięwyrazićwpostaci
sumy(nieskończonej)funkcjibazy(2.38)
f(xgz)=(2L)-3/2Σ
Σ
Σ
c(k1k2k3)e
ik1xeik2yeik3z,
k1
k2
k3
gdziewspółczynnikirozwinięciasąwedług(I.69)równe
(2.42)
c(k1k2k3)=(2L)
-3/2∫
-L∫
L
-L∫
L
-L
L
e-ik1xe-ik2ye-ik3zf(xgz)dxdgdz.
(2.43)
Jeżeliusuniemywarunkibrzegowe,wówczaswidmodyskretnewartościwła-
snych,poktórymnależałosumować,przejdziewwidmociągłe,awzórsu-
macyjny(2.42)przejdziewewzórcałkowy
f(xgz)=(2π)-3/2∫
-∞∫
∞
-∞∫
∞
-∞
∞
c(k1k2k3)eik1xeik2yeik3zdk1dk2dk3(2.44)
