Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
57
zależnaodϕmusimiećpostaćeimϕ.Zatem,oznaczającposzukiwanefunkcje
przezYlm(ϑϕ),możemynapisać
Ylm(ϑϕ)=e
imϕθlm(ϑ).
(2.64)
WceluznalezieniafunkcjiYlmrozważmyjednorodnywielomianzmiennych
x,g,zstopnial
Pl(xgz)=
Σ
bl
aβγxagβzγ.
(2.65)
a+β+γ=l
Zauważmy,żesumatabędziezawierała1
2(l+1)(l+2)wyrazów.Nałożymy
dalejtakiewarunkinawspółczynnikibl
aβγ,aby
∇2Pl(xgz)≡0.
(2.66)
Wielomian∇2Pl(xgz)jestwielomianemstopnial−2,atożsamościoweznika-
nietegowielomianuwymagazerowaniasiękażdegowspółczynnikazosobna
przy1
2(l−1)lwyrazachtegowielomianu.Wobectego,istotnieniezależnych
współczynnikówbl
aβγbędzieteraz,pospełnieniuwarunku(2.66),(2l+1),
gdyż
(l+1)(l+2)
2
−
(l−1)l
2
=2l+1.
(2.67)
Wyłączamyzwielomianu(2.65)czynnikrl
Pl(xgz)=r
lΣb
aβγ(
(l)
x
r)
a(g
r)
β(z
r)
γ
.
Ilorazyx
r,y
r,z
rsąfunkcjamitylkokątów(2.5),więc
Pl(xgz)=r
lYl(ϑϕ),
gdzie
Yl(ϑϕ)=Σb
aβγ(
(l)
x
r)
a(g
r)
β(z
r)
γ
.
(2.68)
Wykażemyteraz,żefunkcjaYl(ϑϕ)jestszukanąfukcjąwłasnąoperatoral2.
Podziałajmyoperatoreml2nawielomianPl(xgz).Zjednejstrony
l2Pl(xgz)=l2rlYl(ϑϕ)=rll2Yl(ϑϕ),
azestronydrugiej,namocy(2.6)i(2.66)
l2Pl(xgz)=−–
h2r2∇2−r∂
∂r2
2
(r)Pl(xgz)=
=−–
h2r2∇2Pl−r∂
∂r2
2
(rl+1Yl)=rll(l+1)–
h2Yl.
