Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.7.PRAWDOPODOBIEŃSTWOCAŁKOWITEITWIERDZENIEBAYESA
Pozwalaonoobliczyćprawdopodobieństwozdarzenia7któretrudnojestobliczyć
bezpośrednio7alektórychobliczeniestajesięłatwedopierowtedy7gdykorzystamy
zprawdopodobieństwawarunkowegoinnychzdarzeń.Najpierwzakładasię7żepewne
zdarzeniezajdzie7apotem7żeniezajdzie.Dającesięwtychokolicznościachustalić
prawdopodobieństwawarunkowepozwalająnamobliczyćostateczneprawdopodo-
bieństwointeresującegonaszdarzenia.
DrugąregułąjestsłynnetwierdzenieBayesa7wynikająceztwierdzeniaopraw-
dopodobieństwiecałkowitymidefinicjiprawdopodobieństwawarunkowego.Totwier-
dzenieudowodniłw1763r.angielskipastorThomasBayes.Twierdzeniewywarło
dużywpływnarozwójstatystykiiprzyczyniłosiędopowstanianowejfilozofiinauki.
Wydajesię7żeBayesniebyłświadomdoniosłościswojegoosiągnięcia;zostałoono
przedstawioneKrólewskiemuTowarzystwuNaukowemu(TheRoyalSociety)przez
jegoprzyjacielaw1763r.żjużpośmierciautora.
Twierdzenieoprawdopodobieństwiecałkowitym
Rozpatrzmydwazdarzenia7AiB.Jakiekolwiekzachodząmiędzynimirelacje7zawsze
możemypowiedzieć7żeprawdopodobieństwoAjestrówneprawdopodobieństwu
iloczynuAiBplusprawdopodobieństwuiloczynuAidopełnieniaB7czyliB
–
.
Twierdzenieoprawdopodobieństwiecałkowitym:
P(A)=P(AmB)+P(AmB
–
)
(2.14)
ZbioryBiB
–
.tworząpodziałprzestrzenipróby.Podziałemdowolnejprzestrzeni
jestjejrozkładnapodzbiory7któresąrozłączne(wzajemniesięwykluczające)ipo-
krywającałąprzestrzeńzdarzeńelementarnych.CzymkolwiekjestzdarzenieB,musi
zajśćalboB7albonieBiniemogąonezajśćobanaraz.Tęsytuacjęitwierdzenie
oprawdopodobieństwiecałkowitymilustrujerysunek2.9.
Twierdzenieoprawdopodobieństwiecałkowitymmożnauogólnićnabardziejzłożo-
nesytuacje7wktórychprzestrzeńpróbSjestpodzielonanawięcejniżdwapodzbiory.
JeżelipodzielimyjąnanpodzbiorówB
1
7...7B
n
7totwierdzenieoprawdopodobieństwie
całkowitymmożnazapisaćrównaniem:
P(A)=Σ
i=1
n
P(AmBi)
(2.15)
119
