Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8.2.Dualistycznycharaktercząstekmateriiipodstawymechanikikwantowej
19
DlaprzykładuzbudujemyoperatorcałkowitejenergiiEcząstkiomasiem.Wukładzie
zachowawczymEjestsumąenergiikinetycznejTipotencjalnejV.Jeśliposługujemy
sięwspółrzędnymikartezjańskimi,to
T=
2m
1
(p2
x+p2
y+p2
z)
(8.31)
Operatorenergiikinetycznejmawięcwtymprzypadkupostać:
T=
ˆ
2m¯
1
h
i
∂x
∂
2
+¯
h
i
∂y
∂
2
+¯
h
i
∂z
∂
2=–¯
2m
h2
∂x2
∂2
+
∂y2
∂2
+
∂z2(8.32)
∂2
Operatorenergiipotencjalnejˆ
Vmapostaćnieróżniącąsięodklasycznegowzoruwyraża-
jącegowkonkretnymprzypadkuenergiępotencjalnąjakofunkcjętylkowspółrzędnych,
V(x,y,z).Operatorcałkowitejenergii,któryoznaczasięzwyklesymbolemˆ
H,aktóry
jestrównysumieˆ
T+ˆ
V,zapiszemywięcdlanaszegoprzypadkuwpostaci
H=–
ˆ
2m
h2
¯
∇2+V(x,y,z)
(8.33)
Operatorˆ
HnazywamyoperatoremHamiltonalubkrótkohamiltonianem;jesttoope-
ratorhermitowski.Dlaukładuwielucząstekhamiltonianprzybierapostaćbardziejzło-
żoną.
Podobniełatwojakˆ
Hmożemyotrzymaćnaprzykładoperatoryskładowychmo-
mentupęducząstki.Składowetewyrażamywmechaniceklasycznejwzorami
Mx=ypz–zpy
My=zpx–xpz
Mz=xpy–ypx
(8.34)
Wobectegooperator,naprzykład,składowejMzjestdanywyrażeniem
Mz=x¯
ˆ
h
i
∂y–y¯
∂
h
i
∂x=¯
∂
h
ix
∂y
∂
–y
∂x
∂
(8.35)
Analogiczniezbudowanewyrażeniaotrzymamydlapozostałychskładowych.Pozwalają
oneuzyskaćwyrażenieprzedstawiająceoperatorkwadratumomentupędu:ˆ
M2=ˆ
M2
x+
M2
ˆ
y+ˆ
M2
z.
8.2.5.Trzecipostulatmechanikikwantowej.
RównanieSchr¨
odingera
Trzecipostulat,którywprowadzamy,wiążeformalnepojęciamechanikikwantowej
zwynikamiotrzymywanyminadrodzedoświadczalnej.Postulattenmożnasformułować
następująco:
Jeśliukładznajdujesięwstaniestacjonarnymopisanymfunkcjąfalowąψi,będącą
funkcjąwłasnąoperatoraˆ
P,topomiarobserwowalnejwielkościmechanicznej,
którejodpowiadatenoperator,musidaćtakąjejwartośćpi,któraspełniarównanie
Pψi=piψi
ˆ
(8.36)
