Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
8.Podstawymechanikikwantowejistrukturaelektronowaatomów
tęrówność,otrzymujemyzwzoru(8.43):
p=∫ϕ∗
jpjϕjdr=pj∫ϕ∗
jϕjdr=pj
(8.46)
Wprzypadkuzatem,wktórymϕjjestfunkcjąwłasnąoperatoraˆ
P,wartośćspodziewana
pjestpoprosturównaściśleokreślonejwartościwłasnejpjoperatoraˆ
P.
8.2.7.Znaczeniefizycznekomutacyjnychwłaściwości
operatorówkwantowomechanicznych
Dyskutująctrzeciiczwartypostulatmechanikikwantowej,stwierdziliśmy,żejedno-
znacznywynikpomiarupewnejwielkościmechanicznejjestosiągalnytylkowtedy,gdy
badanymikroukładznajdujesięwstanieopisanymfunkcjąwłasnąoperatoraodpowia-
dającegotejwielkości.Stądwypływawniosek,żewartościdwuróżnychwielkościme-
chanicznychmogąbyćjednocześnieściśleokreślone(zmierzone)tylkopodwarunkiem,
żefunkcjafalowaukładujestrównocześniefunkcjąwłasnądwuróżnychoperatorów,
odpowiadającychkolejnotymwielkościom.Nasuwasięwięcpytanie,czy,ipodjakimi
warunkami,jesttomożliwe.
Otóżmożnaogólnieudowodnić,żejeślidwaróżneoperatory,ˆ
Piˆ
Q,sąprzemienne,
tomająonewspólnefunkcjewłasne.
Zbadamydlaprzykładuprzemiennośćkilkuoperatorów(por.D.6).Operatorydwu
dowolnychskładowychpędusąprzemienne,gdyżnaprzykład:
pxˆ
ˆ
pz=¯
h
i
∂x¯
∂
h
i
∂zψ=–¯
∂
h2
∂x∂z
∂2ψ
pzˆ
ˆ
px=¯
h
i
∂z¯
∂
h
i
∂xψ=–¯
∂
h2
∂z∂x
∂2ψ
=–¯
h2
∂x∂z
∂2ψ
czyli
[ˆ
px,ˆ
pz]=0
Analogiczniewykazujemy,że
[ˆ
px,ˆ
py]=[ˆ
py,ˆ
pz]=0
(8.47)
(8.48)
(8.49)
(8.50)
Natomiastoperatorydwuskładowychmomentupęduniesąprzemienne,gdyż,jakmożna
sprawdzićtąsamąmetodą,ichkomutatorywynoszą
[ˆ
Mx,ˆ
My]=i¯
hˆ
Mz
[ˆ
My,ˆ
Mz]=i¯
hˆ
Mx
[ˆ
Mz,ˆ
Mx]=i¯
hˆ
My
(8.51)
Wyciągamystądwniosek,żeróżneskładowepędujakiejścząstkimogąbyćjedno-
cześniedokładnieznane,tzn.ostrozadane,natomiastniemożemyjednocześnieznać
dokładnychwartościdwuanitrzechskładowychmomentupędu.Tylkojednaskładowa
momentupędumożebyćwdanymstanieściśleokreślona.Możnanatomiastprócztej
składowejwyznaczyćjednocześniezupełniedokładniekwadratcałkowitegomomentu
pędu,gdyżkomutatoroperatorakwadratumomentupęduioperatoradowolnejskładowej
