Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Energiaukładu
21
mi,stosującalgebręmacierzy.JeżelijakogToznaczymytransponowa-
nywektorgradientu,iloczynskalarnywektoragradientuiwspółrzęd-
nychbędziewynikiemzwykłegomnożeniamacierzy(n–kolumnowej
jednowierszowejgTprzezjednokolumnowąn–wierszowąx):
⎡
x1
⎤
gTx=[
∂x1
∂E
,
∂x2
∂E
,···,
∂xn]
∂E
⎢
⎢
⎢
⎢
x2
.
.
.
⎥
⎥
⎥
⎥
=
Σ
i=1
n
gixi.
⎣
xn
⎦
(1.4)
Wprzypadkudrugichpochodnychnajwygodniejposługiwaćsięma-
cierząHnazywanąhesjanem:
H=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
∂x1∂x1
∂x2∂x1
∂2E
∂2E
.
.
∂x1∂x2
∂x2∂x2
∂2E
∂2E
.
.
...
...
∂x1∂xn
∂x2∂xn
∂2E
∂2E
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
.
.
.
...
⎣
∂xn∂x1
∂2E
∂xn∂x2
∂2E
...
∂xn∂xn
∂2E
⎦
(1.5)
Macierztajestsymetryczna,gdyżzachodzirówność:∂
∂xi∂xj=∂
2E
∂xj∂xi.
2E
Załóżmyteraz,żeznamypewnąkonfiguracjęjąderopisanąwek-
toremxopt,którąpodejrzewamyoto,żedlaniejenergiaprzyjmuje
minimalnąwartość.Konfiguracjatabędziewięcodpowiadałastabil-
nejstrukturze.Dlatejzadanejkonfiguracjijesteśmywstaniewyzna-
czyćnietylkowartośćenergiiE(xopt),alerównieżgradientgoptoraz
hesjanHopt,którewdanympunkcieprzyjmująustalonewartości.
Żebymiećpewność,żewzadanympunkcieenergiamarzeczywiście
minimum,możemywykorzystaćrozwinięcieTayloradlafunkcjiwielu
zmiennychwbliskimsąsiedztwiepunktuxopt.Jeżeli
x=xopt+Δx,
(1.6)
gdziewektorkolumnowyΔx,tzw.wektorprzesunięcia,odpowiada
„niewielkiej”zmianiewspółrzędnych,rozwinięcieenergiizdokładno-
