Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Definicja3.Rodzinąpodzbiorówborelowskichzbioruliczbrzeczywistych
Rnazywamynajmniejsze“-ciałozawierającepółproste(–|,x],x~R.To“-ciało
oznaczaćbędziemysymbolemb(R).
Zdefinicjitejwynika,żezbiorypostaci(a,b],(a,b),[a,b],[a,|),(|,b),
{a},{a
1
,…,a
n
},{a
1
,a
2
,…}należądob(R),awięcsązbioramiborelowskimi,gdyż
(a,b]=(–|,b]–(|,a],(a,b)=
b
|
(a,b–
a+b
⎤
⎥
,{a}=[a,b)–(a,b)itd.
n=1
n
⎦
Takwięcwszystkiewpraktycespotykanepodzbioryzbioruliczbrzeczywistych
możemyuważaćzazdarzenia.Dodajmyjednak,żeistniejąpodzbioryzbioruliczb
rzeczywistych,któreniesąborelowskie.Dowódtegofaktumożnaznaleźćwksiążce
Billingsleya[2,s.53].
Prawdopodobieństwo(miaręprobabilistyczną)określimyzapomocądystry-
buanty.
Definicja4.FunkcjęrzeczywistąFnazywamydystrybuantąprobabilistyczną,
jeżeli
1)FjestfunkcjąniemalejącąwzbiorzeliczbrzeczywistychR,
2)Fjestfunkcjąprawostronnieciągłą,
3)F(–|)=lim
F(x)=0orazF(|)=lim
F(x)=1.
xo–|
xo|
Prawdopodobieństwowprzestrzenimierzalnej(R,b(R))określamyzapomocą
dystrybuantywnastępującysposób.
JeżeliA=(a,b],toP(A)=F(b)–F(a)
JeżeliA=(–|,a],toP(A)=F(a)
JeżeliA={a},toP(A)=F(a)–lim
F(x)
xoa
–
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Ztwierdzeniaorozszerzeniumiary[2]wynika,żetakokreślonąfunkcjęPna
tegorodzajupodzbiorachborelowskichmożnarozszerzyćnawszystkiepodzbiory
borelowskie.FunkcjaPokreślonazapomocądystrybuantyjednoznaczniedefiniuje
miaręprobabilistycznąna(R,b(R)).
Zewzorówtychwynikawielewniosków.
1.JeżelidystrybuantaFmiaryprobabilistycznejciałajestwpunkcie{a},toP({a})=0.
2.Jeżelipunkt{a}jestpunktemskokudystrybuanty,toP({a})
0.
3.JeżeliA=(a,b),toP(A)=lim
F(x)–F(a).
xob
–
4.JeżeliA=(–|,a),toP(A)=lim
F(x).
xoa
–
Na(R,b(R))możnazdefiniowaćtrzyrodzajemiarprobabilistycznych.
Definicja5.MiaręprobabilistycznąPna(R,b(R))nazywamyabsolutnieciągłą
względemmiaryLebesque’au,jeżeliistniejefunkcjaf:Ro[0,|)taka,że
P(A)=>
f(x)du(x)=>
f(x)dx
dlaA~b(R)
A
A
16
(1.5)
