Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Definicja11.ZdarzeniaA
1
,A
2
,…~ftworząprzeliczalny,zupełnyukład
zdarzeń,jeżeli
1)A
2)A
1
i
cA
dA
j
2
=∅
d…=I,
dlaiXj.
Twierdzenie3.(oprawdopodobieństwiezupełnym—całkowitym).Jeżeli
zdarzeniaA
1
,A
2
,…,A
n
,(A
1
,A
2
,…)tworzązupełnyukładzdarzeńorazP(A
i
)
0
dlai=1,2,…,n(i=1,2,…),todladowolnegoB~fzachodzirówność:
P(B)=?
i
P(A
i
)P(BlA
i
)
(1.14)
Dowód.PonieważA
i
cA
j
=∅dlaiXj,więc(BcA
i
)c(BcA
j
)=∅dlaiXj.
Zatem
P(B)=P(BcI)=P(Bc(A
1
dA
2
d…dA
n
))=
=P((BcA
1
)d(BcA
2
)d…d(BcA
n
))=
=P((BcA
1
)+P(BcA
2
)+…+P(BdA
n
))=
=P(A
1
)P(BlA
1
)+P(A
2
)P(BlA
2
)+…+P(A
n
)P(BlA
n
)
Twierdzenie4.(Bayesa).JeżelizdarzeniaA
1
,A
2
,…,A
n
,(A
1
,A
2
,…)tworzą
zupełnyukładzdarzeń,P(A
i
)
0dlai=1,2,…,n(i=1,2,…),orazP(B)
0,to
P(A
k
lB)=
?
i
P(A
P(A
k
)P(BlA
i
)P(BlA
k
)
i
)
(1.15)
Dowód.Korzystającztwierdzeniaoprawdopodobieństwiecałkowitymidefinicji
prawdopodobieństwawarunkowegootrzymujemy
P(A
k
lB)=
P(A
P(B)
k
cB)
=
?
P(A
P(A
k
)P(BlA
i
)P(BlA
k
)
i
)
i
Zauważmy,że
?
i
P(A
i
)=1
Wtymprzypadkumówimy,żeprawdopodobieństwaP(A
1
),P(A
2
),…,P(A
n
),
(P(A
1
),P(A
2
),…)tworząrozkładprawdopodobieństwa.Rozkładtennazywamy
rozkłademapriorizdarzeńA
1
,A
2
,…,A
n
,(A
1
,A
2
,…)lubrozkłademprzyczyn
A
1
,A
2
,…,A
n
,(A
1
,A
2
,…).
Możnarównieżłatwowykazać,żeprawdopodobieństwaP(A
1
lB),P(A
2
lB),…,
P(A
n
lB),(P(A
1
lB),P(A
2
lB),…)tworząrozkładprawdopodobieństwa,awięc
?
i
P(A
i
lB)=1
20
