Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Nietrudnomożnawykazać,żerozkładzmiennejlosowejjestmiarąprobabilis-
tyczną(prawdopodobieństwem)wprzestrzeni
(
R,b(R)
)
.
Jakwiemy,miaratajestjednoznacznieokreślonaprzezdystrybuantę,którą
będziemynazywaćdystrybuantąrozkładuzmiennejlosowejXlubkrócejdystrybuantą
zmiennejlosowejXioznaczaćsymbolemF
X
lubF.Zatem
F
X
(x)=F(x)=P
X
(
(|,x]
)
=P
(
X
–1
((|,x])
)
=
=P
(
{˜~I:X(˜)~(–|,x]}
)
=P
(
{˜~I:X(˜)#x}
)
Wskrócie
F
X
(x)=F(x)=P(X#x)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Mówimy,żezmiennalosowaXmarozkładtypuciągłego,jeżeliP
X
jestmiarą
probabilistycznąabsolutnieciągłąwzględemmiaryLebesgue’a.Gęstośćf
X
tejmiary
nazywamygęstościąrozkładuzmiennejlosowejXalbogęstościązmiennejlosowejX.
Gęstośćf
X
będziemyoznaczaćliterąfpomijającindeksX.Wtedy
P
X
(A)=P(X~A)=>
f(x)dx
jeżeliA~b(R)
A
awszczególności
x
F(x)=P
X
0(–|,x]1=P(X#x)=
>
f(u)du
jeżelix~R
–|
(1.21)
(1.22)
JeżeliP
X
jestmiarądyskretnąskoncentrowanąwskończonymlubprzeliczalnym
zbiorzeSfR,tomówimy,żezmiennalosowaXmarozkładdyskretny.Wtedy
P
X
(A)=P(X~A)=?
f(x)
jeżeliA~b(R)
x~AcS
gdzie
f(x)=P
X
(x)=P(X=x)jeżelix~S
(1.23)
(1.24)
jestgęstościąrozkładudyskretnego,nazywanąrównieżfunkcjąrozkładu.Wtym
przypadku
F(x)=P
X
0(–|,x]1=P(X#x)=?
f(u)
jeżelix~R
u#x
(1.25)
Definicja17.Funkcjęh:RoRnazywamyfunkcjąborelowską,jeżelidla
dowolnegozbioruborelowskiegoA~b(R)
{x~R:X(˜)~A}~b(R)
(1.26)
JeżeliXjestrzeczywistązmiennąlosową,ahjestfunkcjąborelowską,to
złożenieh(X)jestzmiennąlosową.
22
