Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
gdzie
2.Postulatymechanikikwantowej
Λ=
sinϑ
1
∂ϑ(sinϑ
∂
∂ϑ)+
∂
sin2ϑ
1
∂ϕ2
∂2
(2.7)
jestoperatoremtylkowspółrzędnychkątowych.Wobectego
l2=−–
h2r∂2
∂r2
(r)+Λ−r
∂r2
∂2
(r),
więcostatecznie
l2=−–
h2Λ.
(2.8)
Wartozwrócićuwagę,żeoperatorkwadratucałkowitegomomentupę-
du(2.8)niezależyodwspółrzędnejradialnej,atylkoodwspółrzędnych
kątowychioperatorówróżniczkowaniapotychwspółrzędnych.
Łatwiejszyrachuneknawspółrzędnąlzpoosizmomentupędudaje:
lz=−i–
h(x
∂g
∂
−g
∂x)=−i–
∂
h
∂ϕ
∂
.
(2.9)
Tutajwynikjestjeszczeprostszy:współrzędnaz-owamomentupęduwy-
rażasiętylkoprzezoperatorróżniczkowaniapokącieϕ,jakitworzyrzut
promieniawodzącegonapłaszczyznęxgzdodatnimkierunkiemosix.
Zwróćmyuwagęnato,żeniezawszezasadapodstawianiazaklasyczne
wielkościpołożeniaipęduichkwantowychodpowiednikówwceluzdefi-
niowaniaoperatorawielkościfizycznejwyrażonejprzezpołożeniaipędy,
prowadzidojednoznacznejdefinicji.Pominiemytutajogólnądyskusjętego
problemu,apodamytylkodwaprzykłady,którezilustrująpowyższezastrze-
żenie.Wpierwszymprzykładzieklasycznądefinicjęmomentupędumożemy
zapisaćnadwasposoby
l=r×p
lub
l=−p×r.
Wdefinicjikwantowejwystępującewiloczynieoperatorywogólnościnieko-
mutująiwówczaszmianakolejnościmnożeniamożezmienićistotniewynik.
Sprawdzimydrugądefinicjęnp.dlalx
lx=−(pzz−pzg)=−(−i–
h)(
∂g
∂
(z)−
∂z
∂
(g)),
ale
∂g
∂
(z)=z
∂g
∂
∂z
∂
(g)=g
∂z
∂
,
więc
