Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
52
2.Postulatymechanikikwantowej
Wartościwłasne(2.49),awięcjedynemierzalnewartościwspółrzędnej
poosizmomentupędu,sąskwantowane,tworzącwidmodyskretneiprzyj-
mujątylkowielokrotnościstałejPlancka–
h.Rezultatten,oczymnależy
pamiętać,zostałotrzymanydlamomentupęduzewnętrznego,orbitalnego,
któregowspółrzędnedająsięwsposóbjawnyzapisaćprzypomocyopera-
torówpołożeniaipędu.
Zajmiemysięteraztrudniejszymzagadnieniemwłasnymoperatoral2,
wykorzystującprzedewszystkimwarunkikomutacyjne(2.21).
Niechfunkcjafbędziejednązewspólnychfunkcjiwłasnychoperatorów
lzil2.Wówczas
lzf=λzf,
l2f=λ2f,
(2.50)
gdzieλziλ2sąliczbowymiwartościamiwłasnymitychoperatorów.Naszym
celembędzieterazwyznaczeniewartościwłasnejλ2izwiązkumiędzyλziλ2.
Wtymceluudowodnimy
Lemat
Dlawartościwłasnychλziλ2wdanymwspólnymstaniewłasnymf
operatorówlzil2,zachodzinierówność
λ2−λ2
z>0.
Dowód
Zauważmy,że
(l2
x+l2
y)f=(l2−l2
z)f=(λ2−λ2
z)f,
(2.51)
(2.52)
awięcfunkcjafjesttakżefunkcjąwłasnąoperatora(l2
x+l2
y).Opierającsię
nazwiązkach(2.20),możnałatwowyrazićoperator(l2
x+l2
y)przezoperatory
l+,l-:
l2
x+l2
y=
h2
–
2
(l+l-+l-l+)=–
h2(l+l-−lo)=–
h2(l-l++lo).
(2.53)
Utwórzmysumędwóchcałekzjawnienieujemnychfunkcjipodcałkowych
typuψ∗ψ,którenastępnieprzekształcimy
h2
–
2∫(l-f)∗(l-f)dτ+
h2
–
2∫(l+f)∗(l+f)dτ=
=
h2
–
2∫f∗l+l-fdτ+
h2
–
2∫f∗l-l+fdτ=
h2
–
2∫f∗(l+l-+l-l+)fdτ=∫f∗(l2
x+l2
y)fdτ=λ2−λ2
z>0.
