Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
58
2.Postulatymechanikikwantowej
Porównującprawestronyostatnichrówności,otrzymamy
l2Yl(ϑϕ)=l(l+1)–
h2Yl(ϑϕ),
(2.69)
cowskazuje,żefunkcjaYljestszukanąfukcjąwłasnąoperatoral
2,awar-
tościwłasnetegooperatorasątakie,jakznalezionowoparciuowarunki
komutacji.Ponieważistnieje2l+1niezależnychwspółczynnikówrozwinię-
ciawszeregfunkcjiYl,więcistniećteżbędzie2l+1niezależnychfunkcji
spełniającychrównanie(2.69).Ponieważwszystkiefunkcje(2.68)należądo
tejsamejwartościwłasnejoperatoral2,więcokreślająone2l+1-wymiarową
przestrzeńzdegenerowanychfunkcjiwłasnychtegooperatora.Istniejeswo-
bodawyborubazytejprzestrzeniwpostaci2l+1dowolnych,bylebynieza-
leżnych,liniowychkombinacjifunkcji(2.68).Zdowolnościtejskorzystamy
wtakisposób,byobranabazastanowiłatakżefunkcjewłasneoperatoralz.
Będzietorównoważnewyłączeniuprzedznaksumy(2.68)czynnikaeimϕ.
Wtymceludokonajmyzmianyzmiennych
Ę=x+ig=rsinϑeiϕ
η=x−ig=rsinϑe-iϕ.
Wówczas
Yl(ϑϕ)=
a+β+γ=l
Σ
c
aβγ(
(l)
Ę
r)
a(η
r)
β(z
r)
γ
,
(2.70)
(2.71)
gdzienowewspółczynnikic
(l)
aβγbędąodpowiednimikombinacjamiliniowymi
współczynnikówb
(l)
aβγ.Napodstawie(2.70)mamy
(
Ę
r)
a(η
r)
β
=(sinϑ)a+βei(a-β)ϕ,
więc
Yl(ϑϕ)=Σc
(l)
aβγ(sinϑ)a+β(cosϑ)γei(a-β)ϕ.
(2.72)
Bazę2l+1niezależnychfunkcjiYl(ϑϕ)dobieramyterazwtakisposób,że
położymy
α−β=m,
gdzie
m=l,l−1,...,−l,
(2.73)
cooznacza,żedladanegomwspółczynnikic
(l)
aβγniespełniającewarunku
(2.73)będąsięzerować.Wówczas2l+1niezależnychfunkcji(2.72)przyjmie
postać
Ylm(ϑϕ)=e
imϕΣ
c(lm)
a
(sinϑ)2a-m(cosϑ)l+m-2a,
(2.74)
a
