Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
przyczym
β=α−m
γ=l+m−2α.
Zakreszmiennościαprzyustalonymlorazmjest
m<α<
l+m
2
59
(2.75)
(2.76)
oraz,jakzdefinicjiwynika,αjestcałkowitainieujemna.Zauważmy,że
najniższapotęgasinϑwewzorze(2.74)jest,zewzględuna(2.76),(sinϑ)|m|.
Wobectegomożnająwynieśćprzedznaksumy
Ylm(ϑϕ)=e
imϕ(sinϑ)|m|·
·
Σ
c(lm)
a
(sinϑ)2a-m-|m|(cosϑ)l+m-2a.
a
(2.77)
Takskonstruowanewielomianysąfunkcjamiwłasnymioperatoralz,nie
przestającbyćfunkcjamiwłasnymil2.(2l+1)-krotnadegeneracjastanówze
względunawartościwłasneoperatoral2zostajeusuniętaprzezoperatorlz:
każdaparaliczbkwantowych(lm)odpowiadajednejitylkojednejfunkcji
Ylm.
DopełnegowypisaniafunkcjiYlm(ϑϕ)potrzebajeszczewyznaczenia
współczynnikówc
(lm)
a
.Otrzymaćjemożnazwarunkówortonormalizacji
narzuconychnafunkcjeYlm.Wówczasfunkcje(2.77)nazywamyfunkcja-
mikulistymi.Najczęściejwystępującewzastosowaniachfizycznychfunkcje
kulistepodanezostaływprzypisieIII.Wyprowadzonesątamtakżepewne
ogólnewłasnościfunkcjikulistych,międzyinnymiwynikdziałaniaoperato-
rówl+orazl-naYlm.Wiemyjuż,żefunkcjal+Ylmjestteżfunkcjąwłasną
operatoralziodpowiadawartościwłasnej(m+1)–
h,toznaczy
lzl+Ylm=(m+1)–
hl+Ylm
orazpodobnie
lzl-Ylm=(m−1)–
hl-Ylm.
Ponieważjesttoprzypadekniezdegenrowany,więcfunkcjal+Ylmmusibyć
proporcjonalnadofunkcjiYlm+1:
l+Ylm∼Ylm+1
ipodobnie
l-Ylm∼Ylm-1.
