Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
60
2.Postulatymechanikikwantowej
WspółczynnikproporcjonalnościobliczonywprzypisieIIIpozwalanana-
pisanierówności
l+Ylm=(l−m)(l+m+1)Ylm+1
l-Ylm=(l+m)(l−m+1)Ylm-1.
(2.78)
Nazakończenierozważańdotyczącychmomentupęduprzedstawmyszkic
bezpośredniegorozwiązaniarównaniawłasnegooperatoral2.Wdyskusji
oprzemysięnawynikachznanychwmatematyce,adotyczącychtakzwa-
negostowarzyszonegorównaniaLegendre’a.
Napiszemyrównaniewłasneoperatoral2korzystajączpostaci(2.8)
−–
h21
sinϑ
∂ϑ(sinϑ
∂
∂ϑ)+
∂
sin2ϑ
1
∂ϕ2Y(ϑϕ)=λ2Y(ϑϕ).(2.79)
∂2
OznaczeniesymbolemYfunkcjiwłasnejniczegotuoczywiścienieprzesądza.
Oprzemysięnaznanymjużrozwiązaniurównaniawłasnegooperatoralz
izapiszemyfunkcjęY(ϑϕ)wpostaci(2.64)
Y(ϑϕ)=eimϕθ(ϑ),
copowstawieniudorównania(2.79)ipomnożeniuobustronnieprzeze-imϕ
daje
sin2ϑ
dϑ2
d2θ
+sinϑcosϑ
dϑ
dθ
+λ
h2
–
2
sin2ϑ−m2θ=0.
Pozmianiezmiennych
cosϑ=u,
astąd
dϑ
d
=−sinϑ
du
d
,
otrzymamy
dϑ2
d2
=sin2ϑ
du2
d2
−cosϑ
du
d
(1−u2)
du2
d2θ
−2u
du
dθ
+λ2
h2
–
−
1−u2θ=0.
m2
(2.80)
TojestwłaśniewspomnianerównaniestowarzyszoneLegendre’a.
Rozwiązanierównania(2.80)wrazzwarunkamitowarzyszącymimożna
podaćnastępująco:
