Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
wskazanedopierowdalszychrozdziałachksiążki,poświęconychwnioskowaniu
statystycznemu.
Ktośmógłbyzapytać,czydasięskonstruowaćmiarętendencjicentralnej,
którabyłabyzupełnieniewrażliwawobecobserwacjiodstających.Odpowiedź
natopytaniejestpozytywna,aprostymprzykłademtakiejmiaryjestmediana
próbkowadananastępującymwzorem
Med(\)=
(
4
l
x
1
2(xn
(
n+1
2
2:n+x(n
):n
2+1):n)
gdynmod2=1j
(1.2)
gdynmod2=0j
gdziex1:n⩽▷▷▷⩽xn:njestciągiemtzw.statystykporządkowych(zwa-
nychrównieżstatystykamipozycyjnymi),któryotrzymujemyzwyjściowej
próbkix1j▷▷▷jxnpoprzezustawienieobserwacjiwciągniemalejący.Patrzącna
wzór(1.2)widzimy,żewprzypadkupróbkiolicznościnieparzystej,medianą
jestśrodkowaobserwacjawuporządkowanymniemalejącociągu,natomiastgdy
licznośćpróbkinjestparzysta,jestniąśredniaarytmetycznazdwóchśrodko-
wychobserwacji.Takczyowak,medianajestcałkowicieodpornanawpływ
obserwacjiodstających,porządkującbowiemdane,pozostawiamyobserwacje
odstającenapoczątkulubnakońcupróbki.
Niestety,statystykaniejestłatwozadowolić.Całkowitaodpornośćmediany
naobecnośćobserwacjiodstającychzostałaokupionapominięciemn−1,bądź
n−2,elementówpróbki,cooznaczadużąstratęinformacji,atymsamym
pozbawiamedianępewnychzaletsygnalizowanychpodczasomawianiaśredniej
(októrychbędziemowawkolejnychrozdziałach).Tospostrzeżeniezrodziło
pytanieokonstrukcjętakiejmiarytendencjicentralnej,którabyłączyłazalety
średniejimediany,czylibrałabypoduwagęwiększośćobserwacji,ajednocześnie
niebyłabywrażliwanaobserwacjeodstające.Przykłademtakiejmiaryjest
średniaucięta32danawzorem
xt,k=
n−2k
1
ilk+1
n1k
Σ
xi:nj
(1.3)
gdziekoznaczatzw.wielkośćucięcia,k<n
2,określonąliczbąknajmniejszych
iknajwiększychobserwacjiwpróbce,któreniebędąbranepoduwagęprzywy-
znaczaniuwartościtejśredniej.Gdywielkośćucięciaokreślanajestprocentowo,
zapomocąwskaźnikao<1
2,to
xt,0=xt,k∗j
gdziek∗=⌊no⌋=max{k∈N∪{0}:k⩽no}.
(1.4)
32Ang.trimmedmeanistądliteratwindeksieprzyjętegooznaczenia.
24
