Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2DFunkcjestanuiróżniczkizupełne
65
przeszedłpomiędzynimi.Niezależnośćtejcałkioddro-
giwyrażaokreśleniedUjakonróżniczkizupełnej”
.Mówiąc
ogólnie,różniczkazupełnajestinfinitezymalnąwielkoś-
cią,któraposcałkowaniudajewynikniezależnyoddrogi
pomiędzystanempoczątkowymikońcowym.
Kiedyukładjestogrzewany,całkowitaenergiaprzeka-
zywanamuwformieciepłajestsumąwszystkichpojedyn-
czychporcjiciepłaprzekazywanychmunakażdymodcinku
drogi:
(2D.2)
Należyzwrócićuwagęnaróżnicępomiędzytymrówna-
niemarówn.(2D.1).Popierwsze,wynikcałkowaniaozna-
czonojakoq,anieΔq,ponieważqniejestfunkcjąstanu,
energiadostarczonawformieciepłaniemożebyćwięcwy-
rażonajakoq
k
-q
p
.Podrugie,musibyćokreślonadroga
całkowania,ponieważqzależyodwybranejdrogi(naprzy-
kładnadrodzeadiabatycznejq=0,podczasgdynadrodze
nieadiabatycznejpomiędzytymisamymidwomastanami
q≠0).Tazależnośćoddrogijestwyrażonaokreśleniemdq
jakonróżniczkiniezupełnej”
.Różniczkaniezupełnajestin-
finitezymalnąwielkością,któraposcałkowaniudajewynik
zależnyoddrogipomiędzystanempoczątkowymikońco-
wym.Częstodqjestzapisywanejakođqwcelupodkreśle-
nia,żejesttoróżniczkaniezupełna,ajejobliczeniewymaga
znajomościdrogi.
Pracawykonananaukładziewceluprzeprowadzeniago
zjednegostanudodrugiegorównieżzależyodwybranej
drogiprzemianypomiędzytymistanami,naprzykładprace
wykonanepodczasprzemianyadiabatycznejinieadiaba-
tycznejnaogółsąróżne.Oznaczato,żedwjestróżniczką
niezupełną,dlategoczęstojestzapisywanajakođw.
Przykład2D.1
wewnętrznej
Obliczaniepracy,ciepłaizmianenergii
Rozważgazdoskonaływcylindrzezamkniętymtłokiem.
Załóż,żewstaniepoczątkowymukładcharakteryzują
parametryTiV
p,awstaniekońcowymparametryTiV
k.
Zmianastanuukładumożebyćprzeprowadzonanawiele
sposobów,spośródktórychnajprostszeto:
•
droga1,naktórejgazrozprężasięswobodnieprzy
zerowymciśnieniuzewnętrznym;
•
droga2,naktórejnastępujeodwracalneizotermiczne
rozprężanie.
Obliczw,qiΔUdlaobutychprocesów.
SposóbrozwiązaniaWustaleniupunktuwyjściado
obliczeńtermodynamicznychczęstopomocnejestprzy-
pomnieniesobiepodstawowychrównańorazznalezienie
sposobuwyrażeniawielkości,którąchcemyobliczyć,
zapomocąinnychwielkości,któreobliczyćjestłatwiej.
Wpodrozdziale2Bdowiedziono,żeenergiawewnętrzna
gazudoskonałegozależywyłącznieodtemperatury,anie-
zależnajestodobjętości,którąjegocząsteczkizajmują,
azatemdlakażdejizotermicznejprzemianygazudosko-
nałegoΔU=0.Wiemyrównież,żeΔU=q+w.Zadanieto
możnarozwiązaćprzezpołączenietychdwóchwyrażeń
iwybraniewłaściwychwyrażeńnapracęspośródprzed-
stawionychwpodrozdziale2A.
RozwiązaniePonieważdlaobudrógΔU=0iΔU=q+w,
wobuwypadkachq=–w.Pracaswobodnegorozprężania
wynosizero[równ.(2A.7),w=0].Wprzypadkudrogi1
w=0,azatemrównieżq=0.Wprzypadkudrogi2wyko-
nanapracadanajestrówn.(2A.9)[w=–nRTln(V
k
lV
p
)],
awięcq=nRTln(VklVp).
Zadaniekontrolne2D.1Obliczwartościq,wiΔUdlanie-
odwracalnegoizotermicznegorozprężaniagazudoskona-
łegopodstałymniezerowymciśnieniemzewnętrznym.
Odpowiedź:q=pzewnΔV,w=–pzewnΔV,ΔU=0
2D.2Zmianyenergiiwewnętrznej
Rozważmyukładzamkniętyostałymskładzie(tylkotakityp
układurozważanybędziewpozostałejczęścitegopodroz-
działu).Możnaprzyjąć,żeenergiawewnętrznaUjestfunk-
cjąV,Tip,alezfaktuistnieniarównaniastanu,którewiąże
tewielkości(podrozdział1A),wynika,żeustaleniewar-
tościdwóchspośródtychzmiennychdeterminujejedno-
cześniewartośćtrzeciej.DlategomożliwejestwyrażenieU
jakofunkcjijedyniedwóchzmiennychniezależnych:ViT,
piTlubpiV.WyrażenieUjakofunkcjiobjętościitempe-
raturypozwalanauzyskanienajprostszychwyrażeń.
(a)Rozważaniaogólne
Energiawewnętrznajestfunkcjąobjętościitemperatu-
ry,jeżeliwięctedwiewielkościulegajązmianie,energia
wewnętrznazmieniasięo
ogólnewyrażenie
nazmianęU
(2D.3)
wrazzTiV
Interpretacjategorównaniaprowadzidowniosku,że
wukładziezamkniętymostałymskładziedowolnainfi-
nitezymalnazmianaenergiiwewnętrznejjestproporcjo-
nalnadoinfinitezymalnychzmianobjętościitemperatu-
ry,awspółczynnikamiproporcjonalnościsąodpowiednie
pochodnecząstkowe(rys.2D.2).
Wwieluprzypadkachpochodnecząstkowemająprostą
interpretacjęfizyczną,atermodynamikastajesięskompliko-
wanaitrudnatylkowtedy,gdyzapominamyotejinterpre-
tacji.Pochodna(OUlOT)
V
,któraoznaczapojemnośćcieplną
