Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
53
Wprzekształceniachtychkorzystanozdefinicjioperatorasprzężonego
pohermitowsku,jakteżzezwiązków(2.52)i(2.53).Wobectego,lemat
zostałudowodniony.
Utwórzmynastępniefunkcjęl+fisprawdźmybezpośrednimrachun-
kiem,żejesttotakżefunkcjawłasnaoperatorówl2,lz:
l2(l+f)=l+l2f=λ2(l+f)
lz(l+f)={l+lz+[lz,l+]}f=l+lzf+[lz,l+]f=
=λzl+f+–
hl+f=(λz+–
h)(l+f).
Wartośćwłasnaoperatoral2,jakzpowyższegorachunkuwidać,pozostała
niezmienionawstaniel+f,zaśwartośćwłasnaoperatoralzzwiększyłasię
o–
hwstosunkudowartościwłasnejwstanief.Zupełniepodobniemożna
tworzyćkolejnofunkcje(l+)ufipokazaćogólnie,żebędątofunkcjewłasne
operatorówlzil2należącedowartościwłasnychwypisanychwTab.2.2,
Tab.2.2.Wartościwłasneoperatorówmomentupędudlafunkcji(l+)
uf
Funkcja
Wartościwłasne
operatoral2
Wartościwłasne
operatoralz
λ2
λz
f
λz+¯
l+f
λ2
h
λz+2¯
(l+)
λ2
2f
h
···
···
···
λz+u¯
(l+)
λ2
uf
h
gdzieu>0icałkowite.Ciągfunkcjiurywasięnapewnymu,gdyżistnieje
ograniczeniewykazanelematem(2.51).
(λz+u–
h)2<λ2.
Znaczyto,żeistniejetakieu,dlaktórego
(l+)uf/=0,
natomiast
(l+)
u+1f≡0.
Obliczmydalej:
l-(l+)u+1f=l-l+(l+)uf=
h2
–
1
(l2−l2
z−–
hlz)(l+)uf=
=
h2{λ2−(λz+u–
–
1
h)2−–
h(λz+u–
h)}(l+)uf=0
(2.54)
