Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
61
Równanie(2.80)przymcałkowitymmatylkowówczasrozwiązanieskoń-
czonedla−1<u<+1,jeżeli
λ2
h2
–
=l(l+1),
(2.81)
gdzieljestliczbącałkowitą,przyczyml>|m|.Rozwiązanierównania
(2.80)możnazapisaćwzwartejiczęstostosowanejpostaci:
θlm(ϑ)=(1−u
2)
|m|
2
dul+|m|{(1−u2)l}.
dl+|m|
(2.82)
Przypomnijmy,żeu=cosϑ.FunkcjaYlm(ϑϕ)przyjmiezatempostać
Ylm(ϑϕ)=e
imϕ(1−u2)
|m|
2
dul+|m|{(1−u2)l},
dl+|m|
(2.83)
co,jakmożnawykazać,jestzdokładnościądostałegoczynnikarównepo-
staci(2.77).
Warunek(2.81)istnieniaskończonychrozwiązańrównania(2.80)daje
natychmiastwartościwłasneoperatoral2wpostaci
λ2=l(l+1)–
h2,
(2.84)
któradokładnieodpowiadapoprzedniootrzymanemurezultatowi.Podkre-
ślimyjednak,żewartościwłasne(2.84)otrzymanezostałydwukrotniena
dwóchzupełnieniepodobnychdrogach.Wpierwszymprzypadkuwynikały
onezalgebrykomutatorówmiędzyoperatoramimomentupędu,awdru-
gimzmatematycznegowarunkuistnieniaskończonychrozwiązańrównania
własnegooperatoral2.
Funkcjekuliste,jakorozwiązaniarównaniawłasnegooperatorahermi-
towskiego,tworząukładzupełnyfunkcjiortonormalnych.Unormowaniefunk-
cji,zewzględunadyskretnewidmociągłewartościwłasnych,jestunormo-
waniemdoδKroneckera,anieδDiraca,toznaczy,że
∫Y∗
lm(ϑϕ)Ylimi(ϑϕ)dΩ=δlliδmmi.
(2.85)
Zupełnośćukładufunkcjikulistychpozwalanarozwinięciedowolnej
skończonejfunkcjig(ϑϕ)nafunkcjekuliste
g(ϑϕ)=Σ
lm
clmYlm(ϑϕ),
(2.86)