Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.PostulatII—owartościachwłasnych
63
Wystarczyprzedyskutowaćjednoztychrównań,abyrezultatydyskusji
zastosowaćdowszystkichtrzech.Weźmywięcpierwszezrównańiprzepisz-
myjewpostaci
d2X
dx2
=−κ1X.
(2.90)
Jesttonicinnego,jakrównaniewłasneoperatorad
dx2,dyskusjaktóregobyła
2
jużprzeprowadzonawprzypisieI.5.Dopuszczalnewartościwłasnerównania
(2.90)mogąbyćtylkoliczbamiujemnymi,więcmożemypołożyć
κ1≡k
2
1,
gdziek1jestliczbąrzeczywistą.Natomiastfunkcjewłasnerównania(2.90)
możnanapisaćwpostaci
X(x)=eik1x.
Wobectego,rozwiązaniepełnegorównaniawłasnego(2.88)będzie
ψ(xgz)=eik1xeik2yeik3z=ei(k1x+k2y+k3z)
gdziek2
2=κ2orazk2
3=κ3.Liczbyrzeczywistek1,k2,k3możemyzdefinicji
uważaćzawspółrzędnepewnegowektorak.Wówczas
ψ(r)=eik·r.
Kwadratdługościwektorakjestrównystałejκ,czyli
κ=k2
1+k2
2+k2
3>0.
Mającnauwadze(2.88)możemywięcnapisać
E=
2m
h2
–
(k2
1+k2
2+k2
3)>0.
(2.91)
(2.92)
(2.93)
Otrzymaliśmyformalnieważnywniosek:równanie(2.87)posiadaskończone
wszędzierozwiązaniajedyniedlaenergiidodatniej.Wniosektenjestfizycz-
nieoczywisty:energiakinetycznacząstkiniemożebyćujemna.
Każdejtrójceliczbk1,k2,k3odpowiadajednaitylkojednafunkcja
własna(2.91),aledlaustalonejzgóryenergiiEmożnadobraćnieskończe-
niewieletrójekliczbspełniających(2.93).Wobectego,dodanejwartości
własnejEnależynieskończeniewielefunkcjiwłasnych.Problemjestzdege-
nerowanyitoonieskończonymstopniudegeneracji.
Zwróćmyjeszczeuwagęnato,żefunkcjawłasnaoperatoraenergiiki-
netycznej(2.91)jesttakżefunkcjąwłasnąoperatorapędu(2.36).Wprowa-
dzonyformalniewektork(2.93)jestpoprostuwektoremfalowym(1.16).
