Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
161Właściwościgazów
awdanejtemperaturzeciężkiecząsteczkiporuszająsięwol-
niejniżlekkie.
Coistotne,podstawiającrówn.(1B.8)dorówn.(1B.2),
możnauzyskaćzależnośćpV=nRT,którajestrównaniem
stanugazudoskonałego.Tenwniosekpotwierdza,żemodel
kinetycznymożebyćuznanyzamodelgazudoskonałego.
Przykład1;.1
cząsteczekwgazie
Obliczanieśrednichprędkości
Obliczśredniąprędkośćkwadratową,v
rms
,orazśrednią
prędkość,vśr,cząsteczekN2wpowietrzuotemp.250C.
SposóbrozwiązaniaŚredniaprędkośćkwadratowajest
obliczananapodstawierówn.(1B.8),wktórymM=28,02
gmol-1(czyli0,02802kgmol-1)iT=298K.Średniąpręd-
kośćobliczasięprzezwyznaczenienastępującejcałki:
przyczymf(v)danajestrówn.(1B.3).Dotegocelumożna
zastosowaćodpowiednieoprogramowaniematematyczne
lubwykorzystaćcałkipodanewUzupełnieniach,biorąc
poduwagę,że1J=1kgm2s-2.
RozwiązanieŚredniaprędkośćkwadratowawynosi
Całkapotrzebnadowyznaczeniaśredniejprędkościjest
następująca:
Podstawienieodpowiednichdanychprowadzido
Zadaniekontrolne1B.1Wykaż,żerówn.(1B.7)można
wyprowadzićzrówn.(1B.6).
JakpokazanowPrzykładzie1B.1,rozkładMaxwella-
-Boltzmannamożnawykorzystaćdowyznaczeniawartości
średniejprędkościcząsteczek,v
śr,wgazie:
średniaprędkość
[TKM]
(1B.9)
Możnatakżepodaćnajbardziejprawdopodobnąpręd-
kość,vnp,napodstawiepołożeniamaksimumkrzywejroz-
kładu.Położenietomożnawyznaczyć,różniczkującf(v)
względemviznajdującwartośćv,dlaktórejpochodnajest
równazeru(innąniżv=0iv=∞;patrzProblem1B.11):
f(v)/4π(M/2πRT)3/2
1
(4/π)1/2
(3/2)1/2
v/(2RT/M)1/2
v
v
v
np=(2RT/M)1/2
śr=[8RT/(πM)]1/2
rms=(3RT/M)1/2
Rys.1;.6Podsumowaniewnioskówwynikającychzrozkładu
MaxwellaprędkościcząsteczekomasiemolowejMwtempera-
turzeT:v
npoznaczanajbardziejprawdopodobnąprędkość,
v
śr-średniąprędkość,avrms-średniąprędkośćkwadratową
najbardziej
prawdopodobna
prędkość
[TKM]
(1B.10)
Tewynikipodsumowanonarys.1B.6.
Średniąprędkośćwzględną,v
wzgl
,tj.średniąprędkość,
zjakącząsteczkazbliżasiędrugiejtakiejsamejcząsteczki,
możnatakżeobliczyćnapodstawiefunkcjirozkładu:
średniaprędkośćwzględna
[TKM,identycznecząsteczki]
(1B.11a)
v
wzgl=21l2v
śr
Wzórtenjestznacznietrudniejwyprowadzić,natomiast
rys.1B.7potwierdzajegowiarygodność.Średniaprędkość
względnadwóchcząsteczekoróżnychmasachm
Aim
Bjest
danarównaniem:
średniaprędkość
względna
[gazdoskonały]
(1B.11b)
v
21/2v
v
21/2v
v
v
v
v
0
v
2v
v
Rys.1;.7Uproszczonawersjadowodu,żeśredniaprędkość
względnacząsteczekgazupowiązanajestzichśrednią
prędkością.Gdydwiecząsteczkiporuszająsięwtymsamym
kierunku,ichśredniaprędkośćwzględnawynosizero,gdy
zaśporuszająsięwkierunkachprzeciwnych,prędkośćtajest
równa2v.Najczęściejjednakcząsteczkizbliżająsiędosiebie
zboku,wówczasprędkośćzbliżaniawynosi21/2v.Można
zatemoczekiwać,żeśredniaprędkośćzbliżaniajestbliskatej
wartości.Dokładniejszeobliczeniapotwierdzajątenwynik
