Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.8.POCHODNEFUNKCJ'POTĘGOWYCHOWYKŁADN'KACHCAŁKOW'TYCH
25
Aterazrozumowanieformalne(wzór1.6).Licznikilorazuróżnicowegodlafunkcji
f(x)=x2jestrówny:
(1.30)Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2-x2=x2+2xΔx+Δx2-x2=2xΔx+Δx2.
Stądilorazróżnicowy
(1.31)
PochodnajestgranicątegoilorazudlaΔxdążącegodozeraprzyustalonymx.Pierw-
szyczłonodΔxniezależy,drugidążydozera,kiedyΔx→0.Stądostatecznie:
(1.32)
f!(x)=
Mogliśmytegooczekiwać,bowynikatoteżzewzoru1.21dlaa=1orazb=c=0.
Funkcjatrzeciegostopnia
Podobnieprzebiegarozumowaniedlafunkcjif(x)=x3.Numeryczniemożnaobli-
czyćpochodnązapomocąprogramuNum.3,zmieniającwartośćwykładnika.Wy-
nikprzedstawiarysunek1.11c,funkcjapochodnajestparabolą.
Aformalnie:licznikilorazuróżnicowegojestrówny
(1.33)Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3-x3=x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3-x3=
=3x2Δx+3xΔx2+Δx2.
→A.Potęgidwumianu
Ilorazróżnicowyjestwięcrówny:
(1.34)
PochodnajestgranicątegoilorazudlaΔxdążącegodozeraprzyustalonymx.
PierwszyczłonodΔxniezależy,adrugiitrzecidążądozera,kiedyΔx→0.Stąd
ostatecznie:
(1.35)
