Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
18
jestdana,natomiast
jestniewiadomą.
1.Wprowadzenie
u:U→R
Potrafimyrozwiązaćrównanie,jeśliumiemyznaleźćwszystkieuspełniające(1),być
możeograniczywszyrozważaniatylkodotychfunkcji,dlaktórychnapewnejczęściP
brzegu∂Uzachodząpewnedodatkowewarunkibrzegowe.Znajdowanierozwiązańozna-
cza—wwersjiidealnej—otrzymywanieprostych,jawnychwzorównarozwiązania,
albo—jeślisiętonieuda—dowodzenieistnieniaorazinnychwłasnościrozwiązań.
DEFINICJE
(i)Powiemy,żerównanieróżniczkowecząstkowe(1)jestliniowe,jeślijestpostaci
|α|≤k
Σ
aα(x)D
αu=f(x)
dlapewnychdanychfunkcjiaα(|α|≤k)if.Równanieliniowejestjednorodne,
jeślif≡0.
(ii)Równanie(1)jestpółliniowelubinaczejsemiliniowe,jeślijestpostaci
Σ
aα(x)D
αu+a0(Dk–1u,...,Du,u,x)=0.
|α|=k
(iii)Równanie(1)jestquasi-liniowe,jeślijestpostaci
Σ
aα(D
k–1u,...,Du,u,x)Dαu+a0(Dk–1u,...,Du,u,x)=0.
|α|=k
(iv)Równanie(1)jestcałkowicienieliniowe,jeślifunkcjaFzależynieliniowood
pochodnychnajwyższegorzędu.
Układrównańróżniczkowychcząstkowychto,mówiącnieformalnie,zestawkilku
równańokreślającychkilkaniewiadomychfunkcji.
DEFINICJA.Równaniepostaci
(2)
F(Dku(x),Dk–1u(x),...,Du(x),u(x),x)=0
(x∈U)
nazwiemyukłademrównańróżniczkowychcząstkowychk-tegorzędu;funkcja
F:Rmn
k
×Rmn
k–1
×···×Rmn×Rm×U→Rm
jestdana,natomiast
u:U→Rm,u=(u1,...,um)
jestniewiadomą.
Zakładamytu,żewukładziejesttylesamorównańskalarnych,coniewiadomych
(u1,...,um).Najczęściejtakwłaśniejest,choćmożnateżrozpatrywaćukładyzawie-
rającemniej(albowięcej)równańniżniewiadomych.
Układyrównańdzielimywoczywistysposóbnaliniowe,półlinioweitd.
