Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
38
2.Czteryważnerównanialiniowe
gdzieνoznaczajednostkowywektornormalnywewnętrznyna∂B(0,e).Łatwospraw-
dzamy,że
(14)
|Le|≤DfL∞(Rn)∫
∂B(0,e)
|(y)|dS(y)≤Ce|loge|(n=2),
Ce
(n≥3).
3.KontynuujemyobliczanieskładnikaKe,całkującponownieprzezczęści;okazuje
się,że
Ke=∫
Rn–B(0,e)
∆(y)f(x–y)dy–∫
∂B(0,e)
∂
∂v
(y)f(x–y)dS(y)
=–∫
∂B(0,e)
∂
∂v
(y)f(x–y)dS(y),
ponieważjestharmonicznapozapunktem0.MamyD(y)=
nα(n)
–1
|y|n(y/=0),
y
natomiastν=
–y
|y|
=–
y
ena∂B(0,e).Zatem∂
∂ν(y)=ν·D(y)=
nα(n)en–1na
1
∂B(0,e).Ponieważnα(n)en–1jestmiarąpowierzchnisfery∂B(0,e),więc
Ke=–
nα(n)en–1∫
1
∂B(0,e)
f(x–y)dS(y)
(15)
=––
∫
∂B(x,e)
f(y)dS(y)→–f(x)
dlae→0.
(Pamiętajmy,żezgodniezumowąprzyjętąwdodatkuA.3przekreślonacałkaoznacza
wartośćśrednią).
4.Zwarunków(11)–(15),wykonującprzejściegranicznee→0,uzyskujemyrów-
ność–∆u(x)=f(x),zgodnieztezą.
Π
Uwagi.(i)Piszemyczasem
–∆=δ0
wRn,
gdzieδ0oznaczamiaręDiracanaRn,przypisującąjednostkowąmasępunktowi0.Wy-
korzystująctensposóbzapisu,możemyformalnieobliczyć
–∆u(x)=∫
Rn
–∆x(x–y)f(y)dy
=∫
Rn
δxf(y)dy=f(x)
(x∈Rn),
zgodnieztwierdzeniem1.Jesttokorektabłędnegorachunku(9).
(ii)Twierdzenie1zachodziwistocieprzyznaczniemniejsurowychzałożeniachof
—patrzmonografiaGilbargaiTrudingera[G–T],rozdział4.
Π
2.2.2.WŁASNOŚĆWARTOŚCIŚREDNIEJ
RozważmyterazzbiórotwartyU⊂Rniprzypuśćmy,żefunkcjaujestharmoniczna
wU.Wyprowadzimyważnąwłasnośćwartościśredniej,tzn.udowodnimy,żewartość
