Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
46
2.Czteryważnerównanialiniowe
ponieważzbiórVjestwdodatniejodległościod∂U,więcjest„miejscenato,bypojawił
sięefektuśredniania,właściwydlarównaniaLaplace’a”.
Dowód.Niechr:=1
4dist(V,∂U).Wybierzmyx,y∈V,|x–y|≤r.Wtedy
u(x)=–
∫
B(x,2r)
udz≥
α(n)2nrn∫
1
B(y,r)
udz
=
2n
1
∫
–
B(y,r)
udz=
2n
1
u(y).
Zatem2nu(y)≥u(x)≥1
2nu(y)dlax,y∈Vtakich,że|x–y|≤r.
PonieważVjestspójny,adomknięcie¯
VzbioruVjestzwarte,więcmożemypokryć
Vłańcuchemskończeniewielukul{Bi}N
¯
i=1,zktórychkażdamapromieńriBi∩Bi–1/=∅
dlai=2,...,N.Wówczas
u(x)≥
2nN
1
u(y)
dlawszystkichx,y∈V.
Π
2.2.4.FUNKCJAGREENA
Załóżmyteraz,żeU⊂Rnjestzbioremotwartymiograniczonymzbrzegiem
∂UklasyC1.Pokażemy,wjakisposóbmożnaotrzymaćogólnywzórnarozwiązanie
równaniaPoissona
–∆u=f
wU,
spełniającewarunekbrzegowy
u=g
na∂U.
a.DefinicjafunkcjiGreena
Załóżmypopierwsze,żeu∈C2(¯
U)jestdowolnąfunkcją.Ustalmyx∈Uiwy-
bierzmye>0takmałe,byB(x,e)⊂U,anastępniezastosujmywzórGreenazdo-
datkuC.2naobszarzeVe:=U–B(x,e)dou(y)i(y–x).Otrzymamy
∫
Ve
u(y)∆(y–x)–(y–x)∆u(y)dy
(24)
=∫
∂Ve
u(y)
∂
∂v
(y–x)–(y–x)
∂u
∂v
(y)dS(y),
gdzieνoznaczajednostkowywektornormalnyzewnętrznydo∂Ve.Przypomnijmy,że
∆(x–y)=0dlax/=y.Zauważmyteż,że
ł
ł∫
ł
ł
∂B(x,e)
(y–x)
∂u
∂v
(y)dS(y)
ł
ł
ł
ł
≤Cen–1max
∂B(0,e)
||=o(1)
