Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
32
2.Czteryważnerównanialiniowe
pewnapochodnakierunkowafunkcjiuznika.Wykorzystamytospostrzeżenie,ustalając
dowolnypunkt(x,t)∈Rn×(0,∞)ikładąc
z(s):=u(x+sb,t+s)
(s∈R).
Wtedy
z(s)=Du(x+sb,t+s)·b+ut(x+sb,t+s)=0
˙
·=
ds;
d
drugarównośćzachodzinamocy(1).Zatemz(·)jeststałąfunkcjąs,astądwynika,że
dlakażdegopunktu(x,t)funkcjaujeststałanaprostejprzechodzącejprzez(x,t)irów-
noległejdowektora(b,1)∈Rn+1.Jeśliwięcznamywartośćuwjakimkolwiekpunkcie
nakażdejtakiejprostej,toznamywszystkiejejwartościprzyjmowanenaRn×(0,∞).
2.1.1.ZAGADNIENIEPOCZĄTKOWE
Dlaustaleniauwagirozpatrzmyzatemzagadnieniepoczątkowe
(2)
ut+b·Du=0wR
u=g
naRn×{t=0}.
n×(0,∞),
Zakładamy,żeb∈Rnig:Rn→Rsąznane;zadaniepoleganawyznaczeniuu.
Dla(x,t)jakwyżej,prostaprzechodzącaprzez(x,t)irównoległadowektora(b,1)
składasięzpunktów(x+sb,t+s)(s∈R).TaprostaprzecinapłaszczyznęP:=
Rn×{t=0}dlas=–twpunkcie(x–tb,0).Ponieważfunkcjaujestnatejprostej
stałaiu(x–tb,0)=g(x–tb),więcwnioskujemystąd,że
(3)
u(x,t)=g(x–tb)
(x∈Rn,t≥0).
Zatem,jeślizagadnienie(2)maodpowiednioregularnerozwiązanieu,tooworozwiąza-
niemusibyćdanewzorem(3).Inaodwrót,łatwojestsprawdzić,żegdygjestklasyC1,
tofunkcjauzdefiniowanawzorem(3)rzeczywiściejestrozwiązaniemzagadnienia(2).
Uwaga.JeśligniejestklasyC1,tooczywiściezagadnienie(2)niemażadnegorozwią-
zaniaklasyC1.Jednaknawetwtakimprzypadkuwzór(3)określapoważną—wistocie
jedynąrozsądną—kandydatkęnarozwiązanie(2).Możemywięcnieformalniezadekla-
rować,żeu(x,t)=g(x–tb)(x∈Rn,t≥0)jestsłabymrozwiązaniem(2)—również
wtedy,gdygniejestklasyC1.Matosensnawetwtedy,gdyg,awięctakżeu,jest
nieciągła.Podobnypomysł—byuznać,żeniegładka,anawetnieciągłafunkcjamoże
czasemspełniaćrównanieróżniczkowe—pojawisiętakżepóźniej,wpodrozdziale3.4,
gdybędziemybadaćnieliniowezagadnieniatransportu.
Π
2.1.2.ZAGADNIENIENIEJEDNORODNE
Przyjrzyjmysięterazodpowiedniemuzagadnieniuniejednorodnemu
(4)
ut+b·Du=fwR
u=g
naRn×{t=0}.
n×(0,∞),
